Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
В настоящее время для функций Бесселя, Неймана и Ханкеля имеются подробные таблицы, охватывающие также и комплексные значения аргумента х. Поэтому пользоваться этими функциями для расчетов лишь немного сложнее, чем пользоваться тригонометрическими и экспоненциальными функциями. Расчет цилиндрических волн может быть в принципе произведен в любом конкретном случае с той же полнотой, что и расчет плоских волн.
Функции Бесселя и Неймана с индексами 0 и 1 связаны между собой соотношениями
причем аналогичные соотношения справедливы и для функций Ханкеля.
Более общее решение уравнения (22.01) имеет вид
где ф0 — постоянный угол, a h называется продольным волновым числом. Для радиальной функции Rm получается уравнение (22.03), в котором K2 заменяется на g2, где
называется поперечным волновым числом; считаем Img>0, а при Im^=O полагаем g>0. Радиальная функция должна быть решением уравнения (22.04), в котором x=gr. 80
/'о (*) =— Ji (X), N'о (х) = — N1 (X),
(22.13)
F = Rm (г) cos (rmf+фо)е1Лг,
(22.14)
g= У K2—h2
(22.15)Для функции Бесселя Jm (х) имеется интегральное представление
4W=- f ei(* sin ф-тф) dty (т. = О, ± 1, ± 2,...), (22.16)
2я -я
рассмотренное в задаче 2.
§ 23 *. Сферические волны
В § 20 показано, что потенциалы U к V в сферической системе координат удовлетворяют уравнению (20.18), которое можно переписать в виде
LL + -L + = (23.01)
tfr2 г2
где введено обозначение (угловой лапласиан)
A TT 1 8 ( ¦ о, ди\ , 1 дЮ /QQ по\
А *?/=--smw — IH---. (23.02)
sind дО \ &» } sin2 д д ф2
Если искать решение уравнения (23.01) в виде
U = R(r)?(o, ф), (23.03)
то обычные рассуждения метода разделения переменных (см. § 41) приводят к следующим уравнениям для функций R и ?2:
+ (>__ JL \ R = O, Д,й + Хй = 0, (23.04)
аг2 - г2 J
где % — постоянная разделения, которую будем представлять в виде %=v(v+l) (v — новый параметр). Рассмотрим сначала уравнение для функции R, которое после введения новой независимой переменной x = kr принимает вид
?*+ [1_ v(v±I)] (23.05)
dx* [ ж2 J
Одним из решений этого уравнения является функция
^v (X) = 1/^/2 Jv+1/2 (ж), (23.06)
где Zv+1/2 (х) — функция Бесселя с индексом V+1/2 (см. задачу 3). В качестве второго решения этого уравнения возьмем функцию
?v (X) = VHJj2H%,2 (*), (23.07)
которая дает расходящуюся волну, имеющую (при %ф0) особенность в точке х = 0. Функция (23.06) определяет стоячую волну, остающуюся всюду конечной.
При больших значениях х функции i|)v (х) и имеют асимп-
тотические выражения
г|\, (X) = Cos [х-(V+ 1) я/2], Ev (*) = e'I'-t*+1»"/2], (23.08)
вытекающие из формул (22.07) и (22.09).
81Уравнение (23.04) для угловой функции Q = Q (О, <р) также можно решать методом разделения переменных. Таким путем приходим к выражениям
Q = Р™ (cos О) cos т ф, Q = Р™ (cos О) sin т ф, (23.09)
где функция Pv"1 есть решение уравнения
_L_ JL (sind + [v(v+1)--^-1 К =0. (23.10)
sind dd V d Ф / L Sin2 o J
Она называется присоединенной функцией Лежандра. Если ввести переменную X = CosO, то уравнение (23.10) принимает вид
d dx
d Р™ dx
pm = 0. (23.11)
При исследовании сферических волн в свободном пространстве, где ф принимает любые значения, а О заключено в пределах 0s^O<jt, индексы т и v могут быть лишь целыми положительными числами (включая нуль). Действительно, лишь при целых т функции (23.09) являются однозначными функциями точки, т. е. не меняются при замене ф на ф±2я, ф±4л и т. д. С другой стороны, в теории сферических функций доказывается, что уравнение (23.10) имеет конечное решение во всем интервале О^О^я лишь при v = 0, 1, 2, ...; отрицательные значения ничего нового не дают: например, полагая v =— 1, получаем то же уравнение, что при v = 0, и т. д.
При т = 0 уравнение (23.10) принимает вид
1 d +v(v+l)Pv = 0. (23.12)
sin o I d&
При целых V уравнению (23.12) удовлетворяют полиномы Лежандра Pv (X), имеющие степень V и нормируемые обычно так, что Pv(I) = I. Второе решение уравнения (23.12) обращается в бесконечность при O=O или O = я. Присоединенные функции Лежандра выражаются через полиномы Лежандра по формуле
Jtn
рт (*) = (1 — je«)™/2 Pv (X) , (23.13)
V dxт
показывающей, что каждому значению постоянной разделения %= =v(v+l) соответствует v+1 присоединенных функций Pvm, так как PvmE= 0 при m>v. Поскольку при т = 0 вторая функция (23.09) обращается в нуль, то при каждом целом значении v существует 2v+l различных угловых функций (23.09).
В заключение напомним, что уравнение (23.01) не является волновым; однако оно сводится к волновому при замене функции U на функцию и по формуле (20.19).
82Задачи к гл. III
1. Вывести формулы (17.15) и (17.16). Решение. Будем искать электромагнитное поле в виде
E= Ee+ Em1 H= Hc+ Hm1
где поле Ee, He порождается электрическими токами je и удовлетворяет уравнениям
rot Ee = і & He, rot He= — і й Ee -f- -—- je, (а)
с v
а поле Em, Hm порождается магнитными токами jm и удовлетворяет уравнениям