Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
rot Е = іЛ[іН, rot H = —і&єЕ (21.14)
тождественно удовлетворяются, если выполняются соотношения (21.12) и (21.13).
77 § 22. Цилиндрические волны
В § 14 было показано, что каждая декартова составляющая любого из векторов поля удовлетворяет в однородной среде с комплексными проницаемостями є и р волновому уравнению (14.11). Пользуясь выражением (19.21) для оператора Лапласа в цилиндрической системе координат г, ф, г, легко написать это уравнение в виде
+ + (22.01) дг2 т дг г* d<f dz*
где через К обозначено комплексное волновое число (11.05) в данной среде.
В дальнейшем цилиндрической волной будем называть такое решение уравнения (22.01), которое не зависит от координаты z, а от координат г и ф имеет зависимость вида
F=Rm (г) cos тер или F=Rm (г) sin ту, (22.02)
где т — положительное вещественное число (которое не обязательно считать целым). Подставляя выражения (22.02) в уравнение (22.01), получаем для функции Rm обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка
d*Rm , 1 dRm , / „„ т*
dr2 г dr \ г2
+ K2-^Mtfm = 0. (22.03)
Вводя независимую переменную X = Kr, приводим уравнение (22.03) к виду
d*Rm + j_ dRn + / j _ \ Rm = 0 (22 04)
Idx1 X dx \ X2 j
Последнее уравнение есть не что иное, как уравнение Бесселя. Решения этого уравнения хорошо изучены, поэтому здесь ограничимся кратким перечнем их основных свойств.
Уравнение (22.04) имеет особую точку при х = 0, вследствие чего из двух линейно независимых решений этого уравнения только одно остается конечным при X=0. Это последнее называется функцией Бесселя и обозначается через Jm(x), причем х называется аргументом, а т — индексом функции Беоселя. При малых значениях аргумента для вычисления функции Бесселя можно применить степенной ряд, первый член которого
Jm (х) = (ХІ2) mIrnl +... (22.05)
Для функции с индексами 0 и 1, которые чаще всего встречаются, приведем первые два члена степенных разложений:
Zo(Jf)=Il-х2/4+..., /і(х)=л:/2—*3/il6—... (22.06)
При больших значениях аргумента (точнее, при тех аргументах, которые удовлетворяют также неравенству л:>т2) функцию Jm(x)
78 можна заменить первым членом асимптотического разложения
Jm (X)^yjL cos [ж-(2т + 1) -5-]. (22.07)
Второе решение уравнения Бесселя называется функцией Неймана и обозначается обычно через Nm(x). При малых аргументах для функций Nm(x) имеются приближенные формулы
л. С*,-—H-In-*-. = („-і;2....),
я ух п \ X J
(22.08)
где 7=1,7811... — так называемая постоянная Эйлера. Формулы (22.08) показывают, что функции Неймана имеют особенность в точке х = 0. Для больших аргументов функция Nm(x) может быть приближенно вычислена с помощью выражения
N,
Лх)=У-^*т[х-(2т+1)-±}. (22.09)
Выражения (22.07) и (22.09) показывают, что функции Бесселя и Неймана определяют стоячие цилиндрические волны, причем из функции Бесселя получается цилиндрическая волна, принимающая всюду конечные значения, а функция Неймана дает стоячую цилиндрическую волну с бесконечной амплитудой на оси цилиндрической системы координат, т. е. при г = 0.
Наиболее наглядный физический смысл цилиндрической волны имеют в непоглощающей среде с вещественным волновым числом К, когда стоячие волны (22.07) и (22.09) имеют бесконечное число узловых окружностей (в чем наиболее ярко проявляется стоячий характер этих волн) и амплитуду, убывающую как 1 /Уг (в чем сказывается цилиндрический характер этих волн, т. е. расходимость в радиальном направлении).
Функции Бесселя и Неймана часто рассматриваются как основные решения уравнения Бесселя, с помощью которых может быть найдено общее решение этого уравнения
Rm = CJm(X)+C'Nm(x), (22.10)
где С и С — произвольные постоянные. Функции Jm и Nm при вещественных положительных X принимают вещественные значения, что делает их удобными при численных расчетах. Можно пользоваться и другими решениями уравнения Бесселя. Наиболее часто в этой связи рассматриваются так называемые функции Ханкеля 1-го и 2-го рода, определяемые формулами
HWm(X) = Jm(X) + [Nm(X), H^m(x)=Jm(x)—iNm(x). (22.11)
Обе функции Ханкеля являются комплексными при вещественных X и обращаются в бесконечность при лг=0. При больших значе-
79 ниях X для функций Ханкеля из формул (22.07) и (22.09) получаются приближенные выражения
^W= j/;
JL —(2т+1)я/4] t
ЛХ
^ (*> =
JL е-іГ*-(2т+1)я/4] (
JM '
(22.12)
показывающие, что функции Ханкеля определяют бегущие цилиндрические волны. При временной зависимости е~~ім', которая здесь применяется, функция Ханкеля 1-го рода HWm соответствует цилиндрической волне, расходящейся от оси системы координат на бесконечность, а функция Ханкеля 2-го рода Я(2'т соответствует сходящейся цилиндрической волне.
Так как бегущие волны при рассмотрении волновых процессов встречаются весьма часто, то функции Ханкеля находят, наряду с функциями Бесселя и Неймана, широкое применение. При больших значениях Kr цилиндрическая волна (22.02), содержащая функции Ханкеля, имеет множитель eiKr или e~iKr, подобный множителям elKz и e~iKz для плоских волн (см. § 11), но наряду с этим содержит и дополнительный множитель У 2jnKr, указывающий на изменение амплитуды волны вследствие ее цилиндрического характера.
