Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
74 § 21. Лемма о пропорциональном изменении проницаемостей є и fx во всем пространстве
Для многих задач полезна следующая лемма. Пусть требуется определить электромагнитное поле в пространстве, проницаемости е и ц которого являются, вообще говоря, функциями координат X, у, Z, и пусть функции є и ц могут быть представлены в виде
R=E1B, Ц =H1H, (21.01)
где єі и jxi — постоянные числа (вообще говоря, комплексные), а
е и |і соответствуют случаю, когда электромагнитное поле в пространстве известно. Тогда, как можно показать, легко найти электромагнитное поле и для проницаемостей є и ц,, отличающихся от
е и fx коэффициентами пропорциональности єі и ц,ь постоянными для всего пространства.
Итак, пусть требуется определить поля E и Н, удовлетворяющие комплексным уравнениям
rot E=IAuH —— j™, rotH = —iAeE + i^-j® (21.02)
с с
с заданными плотностями сторонних токов je и jm (см. § 3). При
этом пусть известны вспомогательные поля Ё и Н, удовлетворяющие уравнениям
rotЁ = і?uH--— j4 rotl^ —i?e? + —fe, : 7(21.03)
с с
где e и fx удовлетворяют соотношениям (21.01), а сторонние токи имеют плотности
Te = VTi je, Г™ = Vk jm. (21.04)
Тогда если выбрать волновое число ? в уравнениях (21.03) согласно формуле
k = kV^Ah, (21.05)
то решение уравнений (21.02) выражается через решение уравнений (21.03) в виде
E = H = HlV Vi. (21.06)
Доказательство этой леммы элементарно. Действительно, образуем rot E и rot H по формулам (21.06):
rot E = ' rot E = ' VT Н-— YT1 f\ =
IZe1 V H Hi с >
IfcilH-ULf
75 го'н = укго,й"уЫ-' і V"E +-T'>'}-
—IteE + ^Lj'.
C
При использовании этой леммы нужно иметь в виду, что частоты искомого поля Е, H и вспомогательного поля Е, H различны: первому полю соответствует временной множитель e_itoi, 3
второму — множитель е~~1иі, где в силу формулы (21.05)
<0 = 0)]/є7р7 (21.07)
Поэтому при комплексной ei или pi частота со также комплексна, т. е. соответствует колебаниям, экспоненциально нарастающим во времени. Это обстоятельство не является препятствием для применения доказанной выше леммы, так как если известно решение комплексных уравнений электромагнитного поля, то оно обычно известно при любых її, и поэтому не составляет никакого труда считать k комплексным числом, аналитически продолжая полученное решение (см. § 8).
Поясним на примерах, как применять доказанную выше лемму.
Для бегущих в направлении оси 2 плоских волн в пустоте при є=р=1 (см. § 11) составляющие электромагнитного поля равны
Ex = Hy = Ae1* . (21.08)
Из закона распространения плоских волн в пустоте и из леммы легко вывести закон распространения в однородной среде с произвольными проницаемостями є = єі и р = рь а именно из формул (21.08) и (21.06) получаем
Ex = Aelk vW* / Ke1 Hy = А е!* v^i iVv. (21.09)
Отсюда видно, что плоские волны в произвольной среде распространяются с комплексным волновым числом K = k j^ep, причем составляющие Ex и Hy связаны соотношением
Ex = IHy, I = VvF. (21.10)
Эти формулы приведены в § 11.
В качестве второго примера рассмотрим задачу о падении плоской волны на плоскую границу раздела двух сред (рис. 11,а), причем левая среда, в которой распространяется падающая волна, имеет проницаемости s, и ці, а правая — проницаемости
Є2 и р,2. В качестве вспомогательного поля Е, H возьмем рассмотренное в § 15 электромагнитное поле, возбуждаемое падающей под тем же углом ПЛОСКОЙ 'ВОЛНОЙ в пустоте — левой среде, в
то время как правая среда имеет проницаемости є и р (рис.
76 Рис. 11. Падение плоской волны на плоскость раздела z = 0:
ft — в общем случае; б — из пустоты
11,6). Если во вспомогательной задаче параметры нижней среды
є =є2/є1; ц,= Цг/Цх, (21.11)
то можно применить лемму и, в частности, вычислить коэффициенты отражения и прохождения для рис. 11,а. Так как наличие постоянных множителей 1/У~гї и XjYya в формулах (21.06) не влияет на значения коэффициентов отражения и прохождения (которые дают отношение отраженного и прошедшего поля к полю падающей волны), то для коэффициентов RkT справедливы формулы (15.12) и (15.18), если в эти формулы вместо г я ц подставить еи(і, определяемые соотношениями (21.11).
В качестве третьего примера можно рассмотреть обобщение потенциалов электромагнитного поля, введенных выше в § 17 и 18 для пустоты, на случай однородной среды с произвольными комплексными проницаемостями, а именно обобщить формулы (18.04), (18.09) и (18.10).
Из леммы следует, ЧТО B среде C проницаемостями Є И (X векторы Пе и Пт вместо уравнений (18.04) и (18.09) должны удовлетворять уравнениям
ДПе +Я2Пе= 0, ДПШ + /С2 Пт = 0, K = kVw. (21.12)
Что же касается полей, то они определяются через электрический и магнитный векторы Герца по формулам
E = grad div Пе + єц Пе + і & ц rot Пш, ^21 ^
H= — ifcerotne + grad divIIm + &2 єцПт,
обобщающим формулы (ІІ8Л0). Хотя выражения (21.13) могут быть получены с помощью леммы, их справедливость проще всего установить непосредственной проверкой, а именно показать, что комплексные уравнения поля
