Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
dU 8 т]
)ц \ A6A4 L \ п д$ ) дп\ дп JiJ дцд?
dl I aIaT1 I dl I 4 ag j ду\ V з л JJ/
дід? ag
которые удовлетворяются, если функция U есть решение уравнения
Zrt 1 г я / э г / \ я / а im
+ Ii2U = 0. (20.08)
— + ¦-т-ТГ-1— (A4 — {
di2 aIaT1 [og \ л ; ar, \ OT]
Найдя решение уравнения (20.08), можно построить решение исходных уравнений (20.02), относящееся к электрическому типу, в виде
Ei = -J-^Lt En = -LJ^-, El = d^ + k2U,
S A1 diQt, 11 At, дцд1
H1=--iAlL, H4 = — , Ht = O. . (20.09)
ё A4 дЦ П A5 дБ ?
По аналогии нетрудно построить поле магнитного типа:-г, d V f а V с1 л
H1= ' J™-., яч * Hl=^- + k2V, (20.10)
AI dgdC л AT1 ачас ё dt? '
причем функция V должна удовлетворять тому же уравнению (20.08). При написании формул (20.10) проще всего исходить из отмеченной в § 18 симметрии уравнений поля (20.01). Общее решение уравнений поля обычно представляется в виде суммы решений (20.09) и (20.10).
Отметим, что вывод формул (20.09) и (20.10) основан на условиях (20.05). Если в выбранной координатной системе эти условия не выполняются, то данный способ решения оказывается неприменимым. В такой координатной системе общее решение урав-
72 нении поля не распадается на сумму решений электрического и магнитного типов.
Условиям (20.05) удовлетворяет координатная система, в которой ? есть декартова координата z, a g, rj — любые криволинейные ортогональные координаты на плоскости х, у: это могут быть декартовы координаты = rj = у), полярные координаты (? = г, т] =<р) и т. д. Во всех случаях
As = ^iffi, Л), A4==S, (Б, г}), Az=I (20.11)
в соответствии с формулами (20.05).
В декартовой системе координат х, у, z согласно условию Ax = = Ay = Az=I получаем для функций UnV волновые уравнения
AUjTk2U = 0, AV+\k2V = 0, (20.12)
а суперпозиция полей электрического и магнитного типов имеет вид
+ Ev= ^L--ik — , Ez=<™- + k>U,
дх:8z ду дудг дх дгг
(20.13)
„ ¦ , dU , д2 V „ . , д U . д"- V и d2 V , , 2,,
Hx= —ik--1--, Hv=Ik--1--, Hz=--VkiV.
ду 8 xdz дх dydz dz2
Как легко проверить, последние выражения могут быть получены из формул (18.10), если в них положить
IK =? = 0, ш = ?/; П? = Т1™ = 0, Uf = V. (20.14)
Таким образом, если ? — декартова координата, то функции U и V являются (единственными) составляющими электрического и магнитного векторов Герца по оси 2. В этом случае U называется электрической функцией Герца; V — магнитной функцией Герца. Сделанный выше вывод о связи U и V с векторами Герца сохраняется при любом выборе координат rj в плоскости X, у. Функции Герца будут применены в теории волноводов (гл. VII): поле электрического типа есть в этом случае совокупность электрических волн, поле магнитного типа — совокупность магнитных волн в волноводе.
Если ? есть радиус-вектор цилиндрической системы координат, то условия (20.05), как легко проверить, не удовлетворяются. Поэтому для цилиндрических волн, распространяющихся в сектори-альном рупоре (см. § 55), разделение полей на электрический и магнитный типы производится по отношению к оси Z цилиндрической системы, а не по отношению к направлению распространения волн.
Если ? есть радиус-вектор сферической системы координат, то условия (20.08) соблюдаются. Действительно, полагая ?=¦&, Tj = Ф и ? = г, имеем
Zlo = г, Аф = Tsinfl, Ar = I (20.15)
73 в соответствии с формулами (20.05). Формулы (20.09) для полей электрического типа примут вид
а2 и
дг2 г дгд$ т sin # дг дф
Hr = о, Hv=—LL-dJLt яф= — —, (20.16)
/-Sinfl дф ф г
а формулы (20.10) дают поле магнитного типа в виде
F - П F- {k dv F- ik dv r,T — u, — —¦—— ——, ----—-,
л sin # д ф г д®
+ Н9 = ±**-. Яф = —!—-^i. (20.17)
а/-2 T дгд& Ф ГSinА дтдф
Функции U и V должны удовлетворять уравнению d2U , 1
дг2
1 д I . п д U \ . 1 о2 U sin и- +
sin # д # \ д # / sin2 # д ф2
+ k2U = 0, (20.18)
которое уже не является волновым. Однако если ввести функции и и и по формулам
U = ru, V=TV, (20.19)
то благодаря соотношению
*-(ru)=-L Afr2JM дг2 г2 дг \ дг J
они будут удовлетворять волновым уравнениям
Au+>k2u=0, Av + k2v = 0, (20.20)
где оператор А в сферической системе координат определяется формулой (19.24). Функции и я v обычно называют потенциалами Дебая. Эти функции, равно как и введенные выше функции Герца, позволяют свести интегрирование уравнений поля к более простой задаче — интегрированию волновых уравнений.
Подведем некоторые итоги. Выше были рассмотрены криволинейные координаты, удовлетворяющие условиям (20.05). При этих условиях существуют решения уравнений (20.02), относящиеся к электрическому и магнитному типам, и можно ввести потенциалы U и У. Было проверено то, что условиям (20.05) удовлетворяют декартовы и сферические координаты. Точнее, эти условия справедливы в такой координатной системе т), где координата ? является либо расстоянием вдоль прямолинейной оси (? = 2, поверхности ? = const суть параллельные плоскости), либо расстоянием от фиксированной точки (? = Л поверхности ? = Const суть концентрические сферы). Можно показать, что эти два случая исчерпывают все многообразие координатных систем, подчиняющихся условиям (20.05).
