Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
ds* = hld?? + h2dvf+hld?. (19.06)
Вычислим составляющие вектора
R = rot А (19.07)
в криволинейной ортогональной системе координат. Согласно теореме Стокса, примененной, например, к грани g = const параллелепипеда на рис. 10, имеем
RldSi= j>Asds, (19.08)
где интегрирование производится по периметру этой грани. Легко показать, что
§AS ds = dr] (A1 dst) — — (Andsn) (19.09)
и, пользуясь формулами (19.03) и (19.04), получаем формулы К кRl = -J^ (At Az)—JjT(К Ац),
AcAsK4 = ^t(MB)-^(М^), (19.10)
О I
д д h KRi = - (An ^r,)-— (А|Л|),
причем составляющие R71 и Ri получаются циклической перестановкой переменных г], I в формуле для R%. Заметим, что для справедливости формул (19.09) и (19.10) направления т], ? должны образовывать правую тройку (как направления х, у, z). Составляющие вектора
G = grad гр, (19.1,1)
как известно, определяются соотношениями
^ = ?' GC.J±, (19.12)
поэтому по формулам (19.03) получаем
Gs = -Ili1 оп = -±-ГЁ±, Gs = -^if. (19.13)
5 h dl 4 A4 дЦ ? h Э? '
Дивергенцию любого вектора А можно вычислить по теореме Гаусса — Остроградского
div A dV =$AndS, (19.14)
где справа интеграл берется по поверхности бесконечно малого координатного объема на рис. 10. Так как
$Ап dS = dbf- (Ай dSt) + dnJL (Ari dS„> + dt JL (At dSt), (19.15)
OS оЦ OQ
69 то с помощью формул (19.04) и (19.05) получаем
div А = {17 к ftC ¦л?) + № + l^KhiK Al)}.
(19.16)
Так как оператор Лапласа определяется (применительно к скалярной функции iJj) формулой
AiJj = div gradij), (19J17)
то комбинация формул (19.13) и (19.16) дает
Atb = 1 і J-(JSh, I±\ + J_ Ihh + hIh^hXnyhl «Э? / V \ дц)^
+М-^гШ- (Шв>
В дальнейшем наиболее часто будем пользоваться цилиндрической системой координат г, ф, z, связанной с декартовыми координатами X, у, Z соотношениями
X=TCOStp, y = rsin<p. (19.19) Полагая в выведенных выше формулах
I = г, ті = ф, l=z\ Zir= 1, Аф=г, hz— 1, (19.20) можем написать
= J__qr!±\+J_u3L + ?lL. (19.21
т дг \ дг) г2 д ф2 lo22
Сферические координаты г, ф, которыми также часто приходится пользоваться, связаны с декартовыми координатами следующим образом:
X=г sin Ocos ф, y = r sin Osin ф, z = T cos О, (19.22)
причем ф имеет тот же геометрический смысл, что и в формулах (119.19), а г — другой. Чтобы применить выведенные выше общие формулы к сферическим координатам, достаточно положить
l = r, TJ = O, ?=ф; Ar=I, = Аф=гsinO. (19.23)
Поэтому оператор Лапласа в сферической системе координат
A4»—Ї—W-?--$L(sinOi*U—
г* дг \ дг J г2 Sin # д # \ д # j г2 sin2 # д ф2
(19.24)
§ 20 *. Поля и потенциалы в криволинейных ортогональных координатах
Запишем комплексные уравнения электромагнитного поля в пустоте
rot E = i?H, rot H = —i?E (20.01)
70 с помощью криволинейных ортогональных координат. Применяя формулы 019.10), получаем
(к eO —ff (К Еп) = і AA4 к Hb J^ (At Hd —J^ (A4 Щ) = - і k A4 hz Elt jr- (A5 Ei) — -L Qil Et) = і k hr A5 Нц,
-fr (A5 Нд—jr (Ag H1) = -і k h A6 Eri, (20.02)
d = а і
д д — (A4 ?4) — — (A6 Et) = і k A5 A4 H1,
C S (7 TJ
(A4 Я„) - (A5 Я6) = - і ? ht A4
oS <7 TJ
В ряде случаев удается все шесть функций (?6, ?4, Я6, Я4, Я^), входящих в эти уравнения, выразить через две вспомогательные функции U и V, удовлетворяющие уравнениям второго порядка (волновому уравнению или уравнению, приводящему к волновому). Это возможно, если уравнения (20.02) допускают решения электрического и магнитного типов; тогда функция U однозначно определяет электромагнитное поле электрического типа, функция V — поле магнитного типа.
Решением электрического типа (или поперечно-магнитным полем) называется такое решение уравнений (20.02), у которого Е^Ф0 и Ht= 0, а решением магнитного типа (поперечно-электрическим полем) — такое, у которого Et= 0 и Я?#0. Для решения электрического типа из условия Ht =0 вытекает соотношение
LL (A4 Er,) = (A6E6)f
dl дЦ
из которого следует, что составляющие Et и ?4 могут быть представлены в виде
El = -LtJL, En = -LJJJ, (20.03)
s h д I 4 A4 д Tl
где Ur — вспомогательная функция. Подставляя эти выражения во второе и четвертое уравнения (20.02) и учитывая условие Щ = =0, получаем соотношения
д tu и ч • ». h^hI dU' a ,, ., hth dU' -(Ati Hxi) = I k ——--, -(A6 Hp) = — 1 k —іS-S--,
as " fc6 as IdI s' дЦ
(20.04)
которые могут быть легко разрешены, если коэффициенты Ламе данной координатной системы g, rj, Zs удовлетворяют условиям
As = If д/д Z, (А6/А4) = 0
71 или, что то же самое, если
H = gi (6. Л) g (О, A4 - g2 <5, Л) g U h = 1. (20.05)
Действительно, полагая
t/'=™-, //е--4^- —, = . (20.06)
dt е An дц л А? v '
где t/ — новая функция, удовлетворим уравнениям (20.04). Последнее уравнение (20.02) дает
Er =
Ai
Таким образом, с помощью всех уравнений (20.02), за исключением первого и третьего, составляющие поля электрического типа выражены через функцию U. Подставим теперь эти выражения в эти два уравнения, получим соотношения
