Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Введенный выше вектор Герца П часто называется электрическим вектором Герца, в отличие от магнитного вектора Герца, который будет введен несколько позже. Из сказанного вытекает следующее: если в качестве П взять любое решение векторного волнового уравнения (18.04) и образовать с помощью формул (18.03) векторы электромагнитного поля E и Н, то они будут тождественно удовлетворять комплексным уравнениям электромагнитного поля в пустом пространстве
rot E = i&H, rot H=—i&E (18.05)
и таким образом определять некоторый возможный электромагнитный процесс.
Так как формулы для вектора Герца получены довольно сложным обходным путем с использованием векторного и скалярного потенциалов, то полезно также провести непосредственно доказательство сделанного утверждения. Образуем с помощью формул (18.03) выражения
rot Е = &2 rot П, rot H = — ik rot rot П = ¦— ik (—ДП +
+ grad divll).
66 Поскольку П является решением уравнения (118.04), то выражение для rot H может быть переписано в виде
rot H = —ik(grad divП+MI),
откуда уже непосредственно видно, что уравнения электромагнитного поля (18.05) тождественно удовлетворяются.
Смысл введения вектора П заключается в том, что решение уравнений электромагнитного поля сводится к более простой задаче — решить уравнение (18.04).
Даже при беглом взгляде на уравнения электромагнитного поля в пустоте видна симметрия этих уравнений относительно векторов E и Н. В самом деле, если обозначить через E и H какое-нибудь решение уравнений (І18.05), то векторы E' и H', образованные по формулам
E'=—Н, Hr=E, (18.06)
также будут удовлетворять уравнениям электромагнитного поля в пустоте
rot E' = ikH', rot H' = —ikE'. (18.07)
Поэтому наряду с электрическим вектором Герца, определяющим электромагнитные поля по формулам (18.03), можно ввести магнитный вектор Герца, который обозначаем через П™. Вектор Пт связан с напряженностью электрического и магнитного полей следующим образом:
E = i?rotnm, H = grad divПт+&2Пт. (18.08)
Вектор П™ связан с векторами E и H так же, как вектор П связан по формулам (18.03) с векторами —H и E соответственно, как это и требует симметрия уравнений поля в пустоте.
Непосредственной проверкой нетрудно также убедиться, что если вектор Пт удовлетворяет волновому уравнению
ДПга + ?2Пга = 0, (18.09)
то векторы (18.08) тождественно удовлетворяют уравнениям (18.05).
Иногда при исследовании электромагнитных волн оказывается необходимым ввести электрический и магнитный векторы Герца одновременно. Тогда выражения для E и H принимают вид
E = grad divПе + k2~Re+ik rot Пт, ,1Q
1 lo. IUI
H = — ik rot Пе + grad div Пш + &2Пт,
т. е. являются суммой выражений (18.03) и (18.08). Векторы IIe = = П и Пт по-прежнему должны удовлетворять волновым уравнениям (18.04) и (18.09).
Введенные в этом параграфе формулы относятся к электромагнитному полю в пустоте. При необходимости все выведенные выше формулы могут быть обобщены таким образом, что они станут применимы для любой однородной среды с произвольными 3* 67 комплексными проницаем остями є и ц. Это обобщение можно произвести как непосредственно, так и с помощью леммы § 21.
Формулы (18.10) ,можно также вывести из формул (17.15) предыдущего параграфа, если положить
Ae==-іШе, Am=i—ikTLm. (18.11)
Таким образом, электрический и магнитный векторы Герца пропорциональны соответственно электрическому и магнитному векторным потенциалам. Формулы (18.10) были выведены еще раз независимым путем, поскольку для полей без источников, которым посвящен настоящий параграф, выкладки гораздо проще.
§ 19. Криволинейные ортогональные координаты
Для исследования электромагнитного поля при наличии поверхностей раздела сложной формы часто вместо декартовых координат X, у, г используются криволинейные координаты I, Г], связанные с ними однозначно:
*=*(?. Tb U- У=У(1, % I), z = z(l, Tb Б). (19.01)
На рис. 10 изображен бесконечно малый прямоугольный параллелепипед (слегка искривленный), образованный тремя координатными поверхностями
?=const, rj = const, ?=const (19.02)
и тремя бесконечно близкими поверхностями, соответствующими значениям ?,+dg, ц+йц, t, + dt,\ в дальнейшем считаем дифференциалы dg, dr], dt, положительными. Обозначим через dsg, dsn, ds$ ребра этого параллелепипеда, проходящие через точку q, ? (индекс указывает на координату, изменяющуюся вдоль данного ребра), dSg, dS^, dSj — его грани, проходящие через ту же точку (индекс указывает на координату, остающуюся постоянной на данной грани), dV — его объем. Тогда
d Sg = Ag dl, ds4 = hAd rj, dss = AEd?, (19.03)
где коэффициенты A;, At1, Aj в общем случае изменяются от точки к точке; они называются коэффициентами Ламе. Далее можно написать
dSg = Ati A5 Л] dS4 = A5Agd^ dl, dSt = Ag A4^dri (19.04)
и
dV == Ag At, Aj dg drj dt,. (19.05)
Длина диагонали этого параллелепипеда, т. е. длина бесконечно малого отрезка ds, соединяющего две точки с
68
Рис. 10. 'Криволинейные координаты І, Г) % координатами tj, ? и %+d%, ti + dti, l+d%, определяется формулой
