Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
AF+K2F=0. (14.11)
Для плоских волн это уравнение переходит в уравнение (11.04). Изучим более подробно частные решения уравнения (14.11). Как легко показать, функция
/7_Се1К(ал:+Р;/+7г) (14.12)
51 является решением этого уравнения, если С есть постоянная, а постоянные коэффициенты а, ?, Y в экспоненте удовлетворяют соотношению
a2+?2+v2 = l- (14.13)
Такое частное решение скалярного волнового уравнения (14.11) назовем обобщенной плоской волной. Если а, ?, у вещественные числа, удовлетворяющие соотношению (14.13), то функция (14.12) является плоской волной в том смысле, как она определена в § 11. Действительно, в этом случае можно ввести новую координату z' с помощью соотношения
z'=ax+$y+yz (14.14)
и функция (14.12) переписывается в виде Ceim', вполне аналогичном выражению (11.11) для плоской волны. Числа а, ?, у имеют смысл направляющих косинусов, фиксирующих направление оси z' относительно системы координат X, у, z.
Если же среди чисел а, ?, у, удовлетворяющих соотношению (14.13), есть хотя бы одно комплексное число, то обобщенную плоскую волну (14.12) уже нельзя привести к простой плоской волне; такая волна, как увидим ниже, имеет целый ряд особенностей, отличающих ее от обычных плоских волн (см. § 16).
Рассмотрим более детально случай комплексных чисел а, ?, у. Положим
а=«'+!«", ?=?'-H?", у=у'+ху", (14.15)
где а', ?', у' — вещественные части, а", ?", у" — мнимые части этих чисел. Тогда в пустоте (K='k) формула (14.12) примет вид
F _ Q е1На'х+&'у+уг) e-k{a"x+$"y+y'z)^ (14.16)
так что поверхности равной фазы будут плоскостями
и'х+?'y+y'z=const, (14.17)
а поверхности равной амплитуды — плоскостями
а"х+$"у+у"г=const. (14.18)
Плоскости (14.17) и (14.18) перпендикулярны друг другу, так как из условия (14.13) вытекает соотношение
aV/-f?/?//-fv/v//=0. (14.19)
В поглощающих средах плоскости равной амплитуды и плоскости равной фазы могут образовывать острые углы (см. § 16). Во всех случаях несовпадения этих плоскостей амплитуда волны меняется в плоскости равной фазы, поэтому обобщенные плоские волны часто называют неоднородными плоскими волнами.
В заключение остановимся на вопросе, всегда ли электромагнитные волны являются поперечными? В § 11 показано, что плоские волны непременно являются волнами поперечными: они не имеют продольных составляющих—составляющих Ez и Hz— в направлении своего распространения (по оси z). Однако плоские 52 волны с бесконечно широким фронтом являются, в сущности, далеко идущей идеализацией: реальные электромагнитные волны либо имеют конечное поперечное сечение, либо обладают некоторой расходимостью.
Рассмотрим (рис. 8,6) картину силовых линий в плоской волне, границы которой изображены штриховой линией, так что вне этих границ электромагнитные поля отсутствуют. Вдали от границы плоской волны картина силовых линий электрического поля практически такая же, как и в бесконечной плоской волне на рис. 8,а: пучки электрических силовых линий с противоположной направленностью чередуются и находятся друг от друга на расстоянии Х/2, если распространение плоских волн происходит в пустоте. В плоской волне, ограниченной с боков, силовые линии электрического поля не могут, очевидно, выходить за боковые границы волны, поскольку вне этих границ поле отсутствует. Так как поле в однородной среде удовлетворяет соотношениям (14.02), то силовые линии должны быть замкнутыми (рис. 8,6). Форма электрических силовых линий (о магнитных силовых линиях можно сказать то же самое) показывает, что такая плоская волна уже не является чисто поперечной и ее поле неизбежно имеет продольные составляющие.
Можно показать, что не только ограничение фронта волны, но и любое изменение амплитуды волны вдоль ее фронта неизбежно влечет за собой появление продольных составляющих. Напомним, что при расходимости волны также появляются составляющие в направлении распространения. Действительно, в сферической волне, излучаемой, например, элементарным диполем, даже на больших расстояниях от него имеется небольшая радиальная составляющая электрического поля, благодаря которой электрические силовые линии образуют замкнутые кривые.
а — идеальная плоская волна; б — плоская волна, имеющая конечное поперечное сеченне
53 Из сказанного следует, что электромагнитные волны имеют чисто поперечный характер только в простейшем случае идеальной плоской волны (§ 11), а в более сложных случаях этого, вообще говоря, нет.
§ 15. Отражение плоской волны от плоской границы раздела
Пусть плоская электромагнитная волна, распространяющаяся в пустоте, падает на плоскую границу полубесконечной среды, имеющей комплексные проницаемости е и р. Направим ось z перпендикулярно плоской поверхности раздела внутрь правой среды и будем, как в § 13, считать, что плоскость х, у той же системы координат совпадает с границей раздела (рис. 9). Обозначим направление распространения падающей плоской волны через z' и проведем ось г' через начало координатной системы х, у, z. Кроме того, выберем ось X так, чтобы она лежала в плоскости 2, г', которую в оптике обычно называют плоскостью падения (плоскостью падения называется, как известно, плоскость, образованная нормалью к поверхности раздела и падающим лучом).
