Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Hy = -L(Aei!<z—Be-^z) при z> 0, (13.03)
поскольку оно также «е должно зависеть от д; и у. Здесь Л и В — новые постоянные, к и ?—комплексные параметры, соответствующие проницаемостям е и р. Первое слагаемое в выражениях {13.03), пропорциональное А, дает волну, распространяющуюся от границы 2=0 внутрь среды, а второе слагаемое, пропорциональное В, определяет волну, распространяющуюся в противоположном направлении. Из физических соображений ясно, что в данной задаче следует положить B=0. Действительно, значение Вф0 нужно брать в случае, когда плоская волна падает на границу раздела 2=0 из полупространства 2<0 (снизу), в данной же задаче нужно считать B=0. Введя обозначение T=AfA, можем окончательно написать
Ex = AT е№, Hy = Y AT е№ при 2 > 0.
(13.04)
Величина T называется коэффициентом (комплексным) прохождения по электрическому полю; коэффициент прохождения по магнитному полю равен TfZ- Для определения коэффициентов RkT нужно воспользоваться граничными условиями (4.01), которые в данном случае имеют вид
?,1^-0 = ^.1,=+0, Я,|г=_0=Я,|г=+0 (13.05)
и дают соотношения
l+R = T, I--R = TX, (13.06)
49 откуда
(13.07)
Между формулами (13.07) и соответствующими формулами для коэффициентов отражения и прохождения при сочленении двух линий передачи с различными волновыми сопротивлениями (см. § 45) существует полная аналогия. Этим объясняется название волнового импеданса для введенной в § 11 величины при этом пустоте приписывается волновое сопротивление S= 1. Нужно, однако, отметить, что волновой импеданс ? при переходе к общей задаче об отражении и прохождении плоской волны (§ 15) теряет свое значение.
Формула (13.07) для Я показывает, что вещество, у которого S= 1, т. е. у которого диэлектрическая проницаемость равна магнитной (є=р), не отражает электромагнитных волн при нормальном падении. Пластина из такого вещества, помещенная на пути электромагнитных волн, излучаемых радиолокатором, будет «радиолокационной невидимкой» вследствие того, что радиолокатор при облучении плоской поверхности принимает только волны, отражаемые нормально обратно к нему.
Выше решена задача о падении плоской волны на границу раздела. Физически ясно, что эта задача допускает лишь единственное решение (полученное выше), хотя непосредственно теорему единственности § 10 здесь применить нельзя, поскольку поле возбуждается не сторонними стоками, расположенными в конечной части пространства, а падающей из бесконечности плоской волной. Отметим, однако, что условие u=0 имеет, по существу, тот же физический смысл, что и условия (10.06) в теореме единственности: при ВфО поле, возбуждаемое падающей волной во второй среде, имело бы недопустимый характер, экспоненциально возрастая (если К">0) при удалении от границы раздела.
§ 14. Волновые уравнения. Обобщенные плоские волны
Электромагнитные волны в однородной изотропной среде можно рассмотреть несколько иначе, чем это сделано в § 11. Например, рассмотрим комплексные уравнения поля
в однородной среде, Т. е. При 8=const и p=const. В однородной среде из уравнений (14.01) в качестве следствия получаем
Из комплексных уравнений поля (14.01) можно исключить один из векторов поля E или Н. Для этого применим операцию rot к обеим частям этих уравнений и воспользуемся известным тождеством векторного анализа
rot E=i&pH, rot H =—і&єЕ
(14.01)
div Е=0, div Н=0.
(14.02)
rot rot A=—AA-fgrad div A,
(14.03)
SO принимающим в силу соотношений (14.02) для векторов E и H более простой вид
rot rot E=-AE, rot rot H=-AH. (14.04)'
Здесь через АЛ обозначен оператор Лапласа, примененный к А, т. е. такой вектор, составляющие которого по осям х, у, z декартовой системы координат
(AA) я=АЛЖ, (AA)y=АЛу, (AA)1=AA1. (14.05)
Окончательно получаем для векторов E и H уравнения
ЛЕ+К2Е=0, АН+К2Н = 0. (14.06)
Эти уравнения называют волновыми уравнениями (для монохроматических колебаний) или векторными уравнениями Гельмголь-иа. Через К обозначено, как и выше, волновое число в данной среде (в общем случае комплексное), определяемое формулой
(11.05).
Таким образом, при решении задач о распространении электромагнитных волн в однородной среде можно исходить не из уравнений электромагнитного поля, а из волнового уравнения
(14.06) для одного из векторов поля. При этом нельзя забывать, что, помимо волнового уравнения, этот вектор должен еще удовлетворять одному из уравнений (14.02). Найдя, например, вектор Е, удовлетворяющий обоим уравнениям
ДЕ+/С2Е=0, div Е=0, (14.07)
всегда можем найти вектор H из первого уравнения (14.01), т. е. по формуле
H= (l/i'?p)rot Е, (14.08)
и тем самым решить исходные уравнения (14.01). Аналогично, найдя решения уравнений для магнитного поля
AH-I-Zf2H=O, div H=O (14.09)
и определив электрическое поле формулой
E= (—l/i?e)rot Н, (14.10)
также получим векторы, удовлетворяющие исходным уравнениям (14.01). Оба эти метода применим ниже в § 15.
Векторные уравнения (14.06), в сущности, означают, что любая декартова составляющая каждого из векторов поля удовлетворяет скалярному волновому уравнению (уравнению Гельм-гольца)
