Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, это условие выполняется тогда, коода, во-первых, kz^> 1, т. е, при больших (по сравнению с длиной волны) расстояниях от начальной плоскости z=0, и, во-вторых, когда */z<'l, т. е. при малых углах диффракции. Угол диффракции б определяется как tgd=x/z — это угол между прямой, соединяющей край экрана с точкой наблюдения, и направлением падающей волны.
'431 В области тени согласно (формулам (79.19) и (79.25) имеем
V sinvn sin (6/2)
u л, ф —фо)=« л, ф—фо) = —--—, х;0, . . .... x
sm V (л + о/2) sm (vo/2)
eiAz , (а)
X F^-2VArsin-^j
ще F — интепрал Френеля (99,11) и введены обозначения
Ф = Фо+я+6, z= — г со®(ф—фо),
причем б—угол диффракции (положительный в области тени), а ось z совпадает с направлением падающей волны (79.16). Выражение (а) следует сравнить с выражением
W (х, z) Zikz = F (т) eiftz, т = T/k/гх = УШх/г, (Ь)
в котором области тени соответствуют отрицательные значения х. При малых углах диффракции (б=лг/гI) выражения (о) и (Ь) совпадают, в частности множитель перед F в правой части (а), учитывающий граничные условия при <р = 0 и (f =U = n/v, обращается в единицу. При конечных углах диффракции выражения (а) и (Ь) дают разные результаты, но это—глубокая тень, в которой интеграл Френеля мал, поскольку его аргумент велик и отрицателен (при написании ,(а) и (Ь) предполагается, что kr^> 1 и kz~> 1). Кроме того, в строгом решении (79.13) имеется еще слагаемое =Fu (г, ф + фо), но оно в тени тоже мало. Таким образом, сравнение со строгим решением подтверждает важность условий Ar3> 1 и б<1 для параболического уравнения.
3. Показать, что выражение (100.05) удовлетворяет уравнению (99.02), а выражение (100.14)—уравнению (100.11), для чего в этих ,уравнениях перейти к переменным (100.04) и (100.13). Воспользоваться уравнениями (100.06) и (100.16) для ПОЛИНОМОВ Hm и Кп(т)-
Решение. Уравнение (99.02) для функции W(х, г) в переменных ? и O=CJa принимает вид
(а)
д W _ і d2W да 2 cos2 а dt? Дифференцируя, получаем
dw /_ г г 1
— = "]/cos о { — ? sin ст Я' -f — — tga — ост к. L
-(-+т) +¦•?*-"•] »}¦•
и в таком же виде получается правая часть (а)\ аргументы полиномов H=Hm и H' ц экспоненты не выписаны. Уравнение
aw і f*w + ±dv__nfi_ \ (6)
да 2 cos2 ст \ ф2 р др р2 эквивалентно уравнению (1010.11). Оно удовлетворяется, постольку
~ =COSO { — psin а/С'tgCT— i(m + 2n + l) + i-у е~2iCTJ/c}e,
а правая часть (b) с учетом уравнения (Ш0.16) получается такой же. 432 4. Установить связь между функциями Wi0, Wm и №,<°\ а также между Wnr W20, W02 и №о<2>, WV0' три а=Ь.
Решение. Функции Wmn и Wi-mK, указанные выше, имеют одинаковые экспоненты и отличаются только 'Полиномиальными множителями. Учитывая выражения (100.07) и (100.17), имеем
H1 (t cos ф) = 2i cos ф = 2 /С'о1 > (t) cos ф, H1 (t sin ф) = 2Ki01' (0 sin ф,
H1 (t cos ф) H1 (t sin ф) = 2P sin 2ф = 2 К<,2> (/) sin 2ф,
H2 (t cos ф) — H2 (t sin ф) = Atг cos 2Ф = 4 К{02) (0 cos 2ф,
H2 (t cos ф) + H2 (t sin ф) = 4 (/«— 1) = 4 /С(,0) (t).
Эти тождества показывают, что ,пучки Гаусса — Эрмита с индексами 10, 01 и 11 совпадают с пучками ,Гаусса — Лагерра (с точностью до постоянного множителя), а сумма и разность пучков Гаусса — Эрмита с индексами 20 и 02 дают два других пучка Гаусса — Лагерра.
б. Показать, что при учете потерь в зеркалах формула ('101.04) заменяется формулой (>1,01.06). Найти добротность, обусловленную конечной проводимостью зеркал, и сравнить с выражением <(86:03).
Решение. Поскольку волновой пучок !параксиален, а параметр ? для зеркал мал, в уравнение '(101.05) надо подставить коэффициент отражения
R= (1-Ш(1+Е)
для нормального падения в соответствии с формулой (25.06). Тогда получается соотношение hl=qn—i2? и формула (101.06), из которой следует выражение Q=kl[4Re? для омической добротности. С учетом соотношения 2Re?=?d (d — толщина скин-слоя, см. § 25 и 86) Q = ll2d. Для стоячей плоской волны между плоскими зеркалами по формуле (85.09) получаем D=II4, а по формуле (86.03) Q = I[2d, т. е. то ж,е самое.
6. Вывести !соотношение (10I2J06) и разложение (102.07) Решение. Образуем
„-ІЯ/4 t+s —:ІЯ/4 s
F0(t-H)-F0(t)=-^- J е"'/2 а =-±—1^)42^ у2л X У 2л о
Заменяя exp'(iu2/2) единицей і(что при |s]<l естественно), приходим к соотношению (102.06), которое при st принимает простую ,форму
Ftf (t+s) =F0(t) +F'0(t)s.
Разложение (Ю2.07) получается интегрированием по частям:
Ее можно получить также из формул (79.20) и (79:21), .разлагая (l+i/2/s2)-r по обратным степеням s2.
7. Рассчитать двухмерный резонатор с плоскопараллельными зеркалами, базируясь на формулах ('1102.01) и (102.22). Использовать условие ('ГО1.05).
Решение. Применяя условие (101.05) к распространению волноводной волны на отрезке —а/2<*<а/2 с волновым числом ka, получим соотношение
Re1*"0 = ±1 или е«*«"+Vl = =Fl,
'433 -откуда в силу формулы (102.02) следуют выражения (102.12) и все остальные.
8. Иногда разрежение спектра їв открытых резонаторах со сферическим и зеркалами (§ 104) обеспечивается отверстием радиуса а0 в поглощающем (черном) экране, лежащем в плоскости симметрии резонатора, а не конечными размерами зеркал. В такой системе малыми потерями обладают колебания, у которых а°т„са°, где а°тп—радиус внешней каустики в плоскости симметрии ((T=O). Вычислить а°т„; отдельно рассмотреть конфокальные и концентрические зеркала.
