Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
сO=V ю% — сс2 — ia, S0= 1 /LC, a = R/2L. (85.17)
Второй корень квадратного уравнения отличается лишь знаком перед радикалом и ничего нового не дает. Сопротивление создает в первом приближении лишь затухание (со"=а), а смещение частоты появляется лишь во втором приближении. Это — хорошо известный результат теории цепей, однако при скин-эффекте отвлекаться от связи между Li и R нельзя. Поскольку объемные резонаторы применяются в диапазоне дециметровых и более коротких волн, в них имеет место сильный скин-эффект, и влияние омического сопротивления на их комплексную собственную частоту естественно учитывать по формуле (85.16). Разумеется, те же результаты можно получить из формулы (85.17); пренебрегая а2, имеем
* = —И = VTTLULe - 2 (Le+ Li) (85-18)
345 или в том же приближении
CO = M0- (O)0Li+u?)/2L„ (85.19)
что совпадает с формулой (85.16) .
Заметим, что из формулы (85.19) вытекает соотношение <u"=R/2Le, аналогичное соотношению (85.03). Действительно, —Ї—jR 1 Jr [2 есть активная мощ-
2
ность, поступающая в сопротивление из внешнего пространства (см. § 27), а L.Le\]I2 — полная энергия электромагнитного поля во внешнем пространстве, т. е. удвоенная средняя магнитная энергия.
§ 86. Добротность некоторых колебаний
Добротность пустого резонатора согласно формулам (84.04) и (85.09)
Q=UDH', (Є=Є'+ІГ). (86.01)
где k = (j)o/c — волновое число, соответствующее собственной частоте идеального резонатора; волновой импеданс ? взят при той же частоте. При этом в определении Q — в формуле (84.04) —произведена замена со' на ©о, что в первом приближении допустимо.
Для немагнитного металла (ц=1) согласно формуле (26.02) имеем
=1/2п", (86.02)
где п" — мнимая часть комплексного показателя преломления. Из формул (11.06), (11.12) и (11.15) следует, что kn" = K"=Md, так что выражение для добротности принимает вид
Q = 2Djd, (86.03)
где d — толщина скин-слоя. Величина D определяется формулой (85.09) и также имеет размерность длины. Для грубой оценки заменяем в числителе и знаменателе этой формулы |Н|2 и |Нг|2 некоторым средним значением квадрата магнитного поля, тогда D~VfS, где V—объем резонатора; 5 — его поверхность. Если все размеры объемного резонатора имеют один и тот же порядок, то тот же порядок имеет и D: в этом случае добротность (86.03) по порядку величины равна размеру резонатора, деленному на толщину скин-слоя. Если резонатор имеет вид цилиндра с малой высотой /, то V~Sl и D~l, поэтому D имеет порядок меньшего размера резонатора. Такие "Цилиндрические резонаторы имеют пониженную добротность [см. также формулы (86.04) и (86.06) ниже] , о чем без доказательства сказано в начале § 83.
Вычислим параметр D и добротность Q рассмотренных выше резонаторов, причем ограничимся основным колебанием каждого резонатора.
1. Прямоугольная полость, колебание 110 (или ?по).
'346 Магнитное поле определяется формулой (80.10) при т=п= 1; положим для удобства вычислений nC=\kab; тогда
j|H|adV= -L abl(a* + b\ ф \Ht\*dS = (a3 + bs) l + -!-ab(a* + b*)
и
2D = -ab(a* + b*)l- ; 2D= при a = b. (86.04)
2 (a3 + bs) I + ab (с2 + 6я) a +2 I y
При вычислении интегралов использованы соотношения вида
Г sin2 — dx= f cos2 —dx= — . J л J а 9
о
2. Цилиндрический резонатор, колебание ?0ю (высота цилиндра /, радиус основания а).
Полагая в формуле (81.02) /і=0 и ne=C/0(gr), g=2,405/a, получим магнитное поле колебания E0ю, имеющее единственную составляющую
H9=Ikd Пе/дг = — і kg CJ1 (gr), (86.05)
откуда при —іkgC= 1 получаем
J \Н dV = па? IJ \ (ga), § \H9\*dS=2na (a+l)J*(ga)
и
2D=—. (86.06)
a+ I
При вычислении интегралов использовано известное соотношение
J J\ (gr) rdr= — [J\ (ga)—J0 (ga) J2 (ga)]. о z
3. Тороидальный резонатор (см. рис. 114,а).
Магнитное поле в торе определяется формулой (83.02). Если в ней для удобства положить 2J=с, то
Г ItfJsW= 2яЯ In— , ф \H9\2dS=2n ( — + "т-+ 2In — ^ . •> a J \ a b a j
откуда
D = _Н\п(Ыа)__(86 07)
Я (1/? + 1/6) + 2 In (b/a)
4. Отдельный резонатор магнетрона (ом. рис. 114,в).
В индуктивной части резонатора магнитное поле постоянно (как в соленоиде), поэтому оценочное соотношение D~V/S превращается в точное равенство D=VjS, если пренебречь просачиванием магнитного поля в емкостной зазор. Отсюда получается D = = г0/2, где Го — радиус индуктивной части (см. задачу 3).
В заключение необходимо отметить, что все результаты § 85 и 86 относятся к невырожденным колебаниям. Если же данная соб-
347 ственная частота является вырожденной, то влияние конечной проводимости стенок на соответствующие ей колебания нужно в общем случае рассчитывать по более сложным формулам, поскольку сколь угодно малое возмущение может привести к радикальной перестройке системы колебаний.
§ 87 *. Диэлектрические резонаторы
Наряду с объемными резонаторами иногда применяются диэлектрические резонаторы, представляющие собой небольшие тела, обладающие высокой диэлектрической проницаемостью є (порядка нескольких десятков и более). Поскольку длина волны в диэлектрике короче в V є раз по сравнению с пустотой, такие тела, занимая сравнительно небольшой объем, обладают резонансными свойствами и позволяют конструировать сверхвысокочастотную аппаратуру, в том числе различные фильтры. Можно сказать так: если нужна только резонансная частотная характеристика, то объемный резонатор можно заменить диэлектрическим. Если же требуется резонансное поле в значительном объеме, то надо применять объемный резонатор, а на более коротких волнах — открытый резонатор с зеркалами (гл. XVII).
