Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
?= І/іЛ + 1/Q (x),x = xVQM), (69.13)
дающие возможность вычислить ? как функцию х. Так как % оказывается монотонной функцией X, то формулы (69.13) определяют только одну симметричную волну.
В предельных случаях для функции Q(x) можно написать выражения
Q(x) = 2 tg2 ft In (2/ух ctg ft) при je ctg О С 1,
Q (*) = tg2ft при *ctgft> 1, (69.14)
вытекающие из формул (58.15) и (58.16). Второе соотношение (69.13) показывает, что »«->0 при x-vO, и x^xtgft при xctgft^l, а первое соотношение (69.13) приводит к предельным равенствам
- Iim P=I, lim ?= sin ft. (69.15)
Таким образом, при высоких частотах, когда параметр к достаточно велик, волна действительно бежит со скоростью с вдоль
провода (см. § 68). При низких частотах, когда параметр и мал, величина ? близка к единице. Это значит, что волна распространяется вдоль оси спирали (оси г) со скоростью, близкой к с, как бы перескакивая с витка на виток. На рис. 87 приведены результаты расчетов по формулам (69.13) при ctgft=10; дисперсионная кривая при % »0,05 (при к ctg ft«? 0,5) дает ? = = sinft, при существенно больших % полученные соотношения теряют смысл (см. § 71).
При низких частотах, когда выполняются условия p<gik и 1, внутри спирального волновода (при г<а) преобладает функция Пт, поскольку В^>А, определяемое ею магнитное поле, по существу, мало отличается от однородного переменного поля внутри бесконечного соленоида; это поле изучается в элементарной физике при выводе формулы для индуктивности катушек (ом. задачу 1).
'272
\
т=0
"0 0,05 ^ OJ
Рис. 87. Дисперсия симметричной волны спирального волновода § 70. Несимметричные волны в спиральном волноводе
Электромагнитное поле несимметричной волны будем выражать через функции Герца (69.01), причем возьмем
Пе = л Um (pr)Km (pa) Jeifflvj пт = вІІт(рг)Кт(ра)^іт^ (70 01)
[Im (pa) Km (pr) J I /; (ра) Km (pr) J
где т = 1,2,...; прит=0 возвіращаемся к формулам (69.03). Множитель eim(P в формулах (70.01) указывает на то, что при своем распространении вдоль оси г волна вращается по азимуту ср. Формулы (69.04) для HeCiHMMeTpHqiHbix іволн принимают вид
— (р2 + jVctg ® ) Мт Кт sin 1 kP Ы'т Кт cos еі(тф+Лг),
(70.02)
Hx
іkpAI' Km cos'
і kpAIm Km cos ft-
mh
P2 +
a
mh a
ctg®) BIm KmSin
ctgft \ВГ Km sin ft
зі (ягср+ftz)
(70.03)
и граничные условия с учетом формул ctg ft=Aha, А/г=2я// приводят к соотношениям
(,р2 + mh A h) AIm Km sin ft + іkp BIm Km cos ft = 0, і kpA cos ft + (p2 + mh Ah) B sin ft = 0.
Последнее соотношение позволяет написать для А и В выражения
А = (p2JrmhAh) С sin ft, B=-IkpCcos®,
при подстановке которых в первое соотношение (70.03) получаем характеристическое уравнение
(р2 4. mh Д ft) 2
(70.04)
P2 & ilmKm
Воспользуемся формулами
Im-1 (У) =I'm+ (mly) Im, Km-1 (у) =—К'т— (т[у) Km,
Im+v(y) =I'm—(mly)Im, Кт+І (у) =— К'т+](т(У) Km,
где Vm и К'т означают производные (по аргументу у) функций Im и Km- Умножая, получим соотношения
/„._¦ Km-1 = -/; Km-(т21у2) Im Km (т/у) (VmKm + Im Km), Im+iKm+i = -VmKm-(rn2/y2) ImKm + (т/у) (ImKm +ImKm), полусумма «оторых имеет вид
= + ) + (т21У2) ImKrt
(70.0 ) 273 Подставляя выражения (70.05) в характеристическое уравнение (70.04), получаем
(P2 + mh A /г)2 tg2 ^ _ 7m-l^m-l +7m+l^w+l
P2 k" " ZlmlKrn ' p2 a2
Для сокращения введем обозначения
(70.06)
h0 = h + mAh, = k\ ?0 = k/h0, (70.07)
физический смысл которых будет рассмотрен в § 71. Тогда, перенося член т2/р2а2 из правой части (70.06) в числитель левой части и пользуясь тождествами
(p2+mhAh)2— (mkAh) 2=pA+2mhAhp2+m2 (Ah) 2р2=
=P2 [p2+2m/iA/i+m2 (Ah)2] = p\h2+2mhAh+m2 (Ah) 2—k2] =
=P2 (hh-k2) =P2P20,
получаем характеристическое уравнение в виде
(pW) tg4= (Im-lKm-l+Im+lKm+l) /2ІтКт. (70.08)
Если наряду с безразмерным параметром г] по формуле (69.08) ввести параметр r]o=hol/2n=ho/Ah, то из формул (70.07) получим
T10=T,+m, ?o=5t/r]o. (70.09)
Чтобы найти решение уравнения (70.08) в параметрическом виде, введем переменную X по формуле (69.09) и обозначим
Г) М_+02 А _2 Im (Х ctg ft) Km (X Ctg ft)_•
VmW-Ig W /т_, (xctgft)Km_, (*ctgft) + /m+1(*ctgft)tfm+1(*ctgft) •
(70.10)
Переменные г} и х удовлетворяют двум уравнениям
T12-^2=*2, [(т,+т)2—к2]/к2 =UQm(X). (70.11)
Подставляя х2=ц2—х2 из первого уравнения во второе, приходим к квадратному уравнению
г]2—2mQmr\— (X2jrX2Qm-^rn2Qm) =0
для величины г]. Корни этого уравнения определяются формулой
Tl* = (*)> (X) = т Qm (X) ±Yl 1 + Qm (х)\ IX2 + т2 Qm (х)],
(70.12)
причем корень г)+ — положительный, а корень г]- — отрицательный; каждому значению Зс соответствует значение
X = Y^l(X)-X2. (70.13)
При т=0 формулы (70.12) и (70.13) переходят в выражения (69.12). Однако между симметричными и несимметричными волнами есть следующая существенная разница: в формулах (69.12) двойной знак ± дает, по существу, одну и ту же волну, распространяющуюся в направлениях ±2 с одинаковой фазовой скоростью. 274 Двойной знак ± для несимметричных волн дает при фиксированных т и X две волны, распространяющиеся с различными фазовыми скоростями: одна в направлении +2, другая в направлении—z. Разумеется, каждая из волн может распространяться. с той же фазовой скоростью и в обратном направлении, но при этом она будет по азимуту ф поворачиваться в обратном направлении, и ей будет соответствовать азимутальный индекс т другого знака.
