Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
При произвольных % для цепочек без потерь получаются характеристические уравнения
sin-*- - f-HSin-f (CO0 = Vlc). (а>
2 2ю0 2 2ы
Первое уравнение определяет полосу пропускания 0<со<2соо, второе — полосу пропускания соо/2<(о<°°. На границе полосы пропускания х=л соседние ячейки колеблются їв противофазе. В полосе непропускания %=л-Нф соседние ячейки по-прежнему в противофазе, но амплитуда колебаний при перехо-
гЬ
де к следующей ячейке уменьшается в с* раз.
В общем случае произведение ZY для чисто реактивной цепочки вещественно. Полоса пропускания -определяется неравенствами
0<—2У<4, 0<х<я, если ограничиться наименьшими положительными значениями х- На границах, полосы пропускания х —О или X = л. При переходе от цепочки к периодической структуре надо полагать %=hl.
'262 Во втором случае волна обратная, поскольку при м = ш/А> 0 получаем V= = da>ldh = ld(uld%<.0, т. е. фазовая и групповая скорости имеют разные знаки; волновой импеданс —і sin х/У при Х>0 отрицателен. При х=я групповое запаздывание dx/da> = llv в обоих случаях бесконечно, а групповая скорость и волновой импеданс равны нулю.
Таким образом, в цепочке из последовательно соединенных емкостей и параллельно соединенных индуктивностей может распространяться только обратная волна (см. также § 62).
2. Исследовать распространение поверхностных волн над гребенкой с анизотропным чисто реактивным импедансом, т. е. в случае граничных условий (66.08) три Si = —і|і, ?2 =—ІІ2- Для этого в качестве потенциалов взять (ом. § 14 и 18)
Jl е = J^ eife{ax-i-?y-(-vz)^ , л ш __ ?eife(ax+?0+v2). ^
Полученное характеристическое уравнение исследовать, полагая
и считая ? фиксированным положительным числом. Выяснить, при каких условиях для к и у получаются комплексные значения, и связать этот результат с теорией комплексных волн '(см. конец § 62).
Решение. Опуская экспоненциальные множители, для составляющих, входящих в условия (66j08), получаем
Ey = —k2(a?-A+yo), Ez=-k2{ayA—??), Hy=-k2(—y4 + a??), Hz = —k2($A + ayB) и условия i(66.08) дают соотношения
у (a—ill) А = ? (1—Il(OE) в, y(l—ІІ2СЕ) В = — ? (a—i|2) A,
показывающие, что при ? = 0 или у = 0 граничным условиям можно удовлетворить, ограничиваясь одной из функций (а), т. е. полагая A = 0 или же B=O. При ? = 0 получаем X = Ii (Л=#=0) или х = —l/|i (S=TtO), а при Y=O получаем з< = |2 ,(A=^O) и X =—І/її (ВФО). Поскольку для поверхностной волны отрицательные значения х неприемлемы, только два из этих решений имеют смысл.
При отличных от нуля значениях ? и у получается характеристическое уравнение
Заменяя здесь х2 на у.2+ 1—Il и учитывая вторую формулу (Ь), получаем более простое уравнение
a = ix, у2 = х2+>\—?:
;2
Сь)
Y2(X-Ii) (І2Х+1) + ?2(x-|2) (61x+I) =0
или
(|2?2+|i?2)x2+ (1—I1I2) (Y2+?2)x-(|iY2+|2?2) =0.
(xHuHi^+li?^U-l^-di + i*)]=»,
'263 в котором первый множитель не дает приемлемого решения, а второй множитель (приводит к квадратному уравнению, которое можно записать в ввде
(к-|і) (у.+\lh) =?2(l-ti/Ы.
Оно показывает, что при ?^O волны, у которых x=|i и х=—>1/|2, оказываются связанными, вследствие чего возникают две новые волны, у которых
к = - Jdi-dx + i/y2+?2(i ih)-
Если 1і>0 и |2<0, т. с. обе несвязанные волны — поверхностные, то оба значения х вещественны, а обе новые волны—поверхностные (и>0) при дополнительном условии ?2<gi/(6i—§2) <'1. Если же Ii и S2 имеют одинаковые знаки, например |i>0 и |2>0, то подкоренное выражение отрицательно при условиях
?2>(SiI2H-I)2Mb(I1-I2) и h>b;
тогда оба корня комплексные. Они могли бы дать поверхностную волку при Ii >1/62, однако это неравенство несовместимо с условием |i>|2. Поэтому волны с комплексными значениями х не являются поверхностными, а комплексность к (а следовательно, и комплексность у) обусловлена потерям« на излучение (см. § 61). Физическая причина этого — в том, что одна из несвязанных волн (в данном примере та, у которой я=—1/|2<0)—не поверхностная, а антиповерхностная (см. § 61).
Комплексные волны, рассмотренные в § 62, возникают при синхронизме несвязанных волн и при сколь угодно слабой связи; найденные выше комплексные значения х этим условиям не удовлетворяют.
3. Показать, что если к гребенке, изображенной на рис. 77, добавить две идеально ,проводящие плоскости у = 0 и у=Ь, то характеристическое уравнение для поверхностных волн в такой структуре совпадает с уравнением, полученным в задаче 2. Конкретизировать решения этого уравнения при дополнительных условиях Ii >0, |2=0.
Решение. Полагая
Щ = Msinap$e,S(ajt+*2\ п™ =BcosApjfe1wejt+*2',
будем иметь, опуская множитель Є1*«1*+?2),
E7 = —k2 (a? А + у В) cos Щу, Ez = -?2 (ay Л — ??) sin Іфу, Hy = -\h?{ — yA + a$B)smk$y, Hz = — k2 (? A + ayB) cos??(/.
Легко видеть, ЧТО при условии ? = nn/kb (я—1, ,2, ...) условия Ex = Ez = O при у = 0 и у=Ь удовлетворяются и что характеристическое уравнение получается то же, что и в задаче 1. При |г=0 оно имеет один корень x=|ii(l—?2), который при ?2<C'l соответствует поверхностной волне.
