Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Пользуясь первой формулой (58.18), можно переписать отличные от нуля составляющие электромагнитного поля (67.02) в виде
Er= і hp AI1 (pr) еІЛг, Ez=—p2 AI0 (pr) еІЛг, (67.04)
Hv=IkpAI1 (pr) е'"г.
«Т-
xl i
JL
Рис. 79. Диафрагмированный волновод
Рис. 80. Левые части уравнений (67.11) и (67.18) ,
9—240 Таково поле симметричной электрической волны в области О<Сг<а, свободной от перегородок (см. рис. 78), В области а<. <.r<.b этими выражениями пользоваться нельзя, так как они не удовлетворяют граничным условиям на поверхности перегородок.
Диафрагмированный волновод является периодической структурой с пространственным периодом I по оси z. Задача о распространении волны вдоль этой структуры, как и в § 66, всего проще решается при условии 1. Поле между диафрагмами, при а<г<Сй, должно иметь составляющую Ez и ту же симметрию, что а поле (67.04); при hi^C 1 в пределах данного периода, например лри 0<2</, функция Пег практически не зависит ОТ Z, поэтому поле между перегородками будет иметь лишь две составляющие
Ez = k2 Щ, Hv=Ik duydr, (67.05)
причем функция Пег должна удовлетворять уравнению
!Ez + -L ИЗ + ?2 Пе = 0) (67.06)
dr2 г dr
имеющему общее решение
Пег=CJo(kr) +CN0 (kr). (67.07)
Здесь фигурируют обе функции J0 (kr) и N0 (kr), так как функция (67.07) определяет поле при a<r<.b.
Пусть поперечные перегородки и поверхность волновода r=b обладают идеальной проводимостью. Тогда поле с составляющими (67.05) автоматически удовлетворяет граничным условиям на перегородках, так как тождественно Er=E4, =0. Для того чтобы удовлетворялось граничное условие Ez=0 при г=Ь, должно быть
CJo(kb)+C'No(kb)=0, C=BNo(kb), C=-BJ0 (kb), где В — новая постоянная. Окончательно получаем
Ez=k2B[/о(kr)N0(kb)-N0 (kr) J0(kb)],
H4, = — ik2B [/, (kr) N0 (kb) -N1 (kr) J0 (kb)]. (67.08)
Можно сказать, что наличие перегородок приводит к появлению в области а<г<.Ь стоячих цилиндрических волн. Постоянная В изменяется от периода к периоду, достаточно рассмотреть один период (0<?</).
Применяя граничные условия
^zIz=O-O = -^zIr=O-HO' ^ФІг=а—о = ^ф1г=а+0> (67.09)
аналогичные условиям (66.04), получаем соотношения , —рШо(ра) =k2B[J0(ka)N0(kb)—N0(ka)Jti(kb)],
—pAh (pa) =kB [J1I(ka)N0 (kb) -N1 (ka) J0 (kb) ] (67.10)
и характеристическое уравнение
ра jO {Ра) = ka J°{ka) N°(kb) ~N°{ka) J°m (67 11)
И I1(Pa) J1 (ka) N0 (kb) — N1 (ka) J0 (kb) ' ' '
'258 позволяющее Определить фазовую скорость медленной волны при заданной часоте и известных размерах а и & диафрагмированного волновода. Действительно, с помощью таблиц бесселевых функций /0, N0, h и Ni можно вычислить правую часть уравнения (67.11). Левая часть этого уравнения есть монотонная функция одного аргумента ра. График этой функции изображен на рис. 80. Ход верхней кривой, показанной на рис. 80, легко понять, если воспользоваться формулой (58.13), из которой следует соотношение
lim pal о (pa)Ih (pa) =2, (67.12?
Da-* о
и формулой (58.16), приводящей к приближенному равенству
paIo (pa)/h(pa) жра при ра^> 1. (67.13):
Если правая часть уравнения (67.11) больше двух, то с помо<-щью верхней кривой рис. 80 можно найти (единственное) значение ра, удовлетворяющее этому уравнению. Это значит, что в данной системе может распространяться замедленная волна; ее продольное волновое число h= У k2+p2, а фазовая скорость
и = с/У I+ р21кг <с. (67.14)
Если же правая часть уравнения (67.11) меньше двух, то уравнение не имеет решения и медленная волна отсутствует.
Для того чтобы фазовая скорость и была лишь немного меньше с, частоту и размеры а и & следует выбирать так, чтобы правая часть уравнения (67.11) лишь немного превышала 2. В этом случае выполняются условия ра<С 1, и формулы (67.04) уп-
рощаются следующим образом:
Ez=Aoe"", Er==Hv=—Ао(ikr/2)eiAZ (A0=-P2A). (67.15)
На рис. 81,а изображен ход электрических силовых линий волны, бегущей вдоль диафрагмированного волновода при этих условиях.
Для лампы с бегущей волной требуется отношение и/с порядка 0,1. Длина волны при этом на порядок меньше, чем в свободном пространстве, а произведение ра — порядка единицы или нескольких единиц. В этом случае распределение электрического ля в области 0<.г<.а диафрагмированного волновода принимает вид, изображенный на рис. 80,6: электромагнитное поле «прили-
Ю б)
Рис. 81. Электрическое поле волны в диафрагмированном волноводе:
а — при фазовой скорости, близкой к с; б — при значительном 'замедлении
9* 259 пает» к поверхности г=а тем сильнее, чем больше ра. При ра^> 1 и рг^> 1 формулы (67.04) и (58.16) дают
т. е. поле экспоненциально убывает при удалении от диафрагм. По этой причине применять замедляющую систему при больших значениях параметра ра невыгодно, потому что на электроны, движущиеся вблизи оси z, действует сравнительно слабое поле. В этом обстоятельстве проявляется поверхностный характер медленных волн, о котором говорилось еще в § 58.
Если їв уравнении (67.11) положить а=Ь, то (правая часть обратится в нуль и характеристическое уравнение примет вид /о(ра)=0. Это — уравнение для круглого волновода радиуса а без диафрагм. При вещественном р оно не имеет решения, поскольку Этот результат очевиден: волновод без диафрагм не может поддерживать медленных волн, поскольку все волны в волноводах распространяются с фазовой скоростью, превышающей с. Если положить p=ig, то это уравнение принимает вид J0(ga)=0, что согласно § 42 соответствует симметричным электрическим волнам в круглом волноводе.
