Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
§ 66. Поверхностные волны над гребенчатой структурой
На рис. 77 изображена периодическая структура, состоящая из тонких проводящих пластин шириной а, бесконечно протяженных по оси у и укрепленных на проводящей плоскости X=—а. Данная система называется гребенчатой структурой, или, кратко, гребенкой. Вдоль нее могут распространяться медленные волны того же типа, что и вдоль диэлектрической пластинки (см. § 61). Отличие гребенки от пластинки — в том, что гребенка является анизотропной: распространение волн в направлениях z и у подчиняется разным законам. Другое отличие гребенки — в ее периодичности; однако при условии hl<с 1 (I — период гребенки) периодичность не сказывается, высшими пространственными гармониками можно пренебречь (см. § 65) и в случае распространения электрической волны в направлении оси z поле над гребенкой записывать в виде (60.02) и (60.03). Здесь не учитываются все пространственные гармоники кроме нулевой (см. § 65), ее волновое число обозначается через h.
Электромагнитное поле в области —а<*<0, т. е. между проводящими перегородками, находится из следующих соображений. Фаза электромагнитной волны (60.03) над гребенкой зависит от 2, однако при условии hl<Si 1 ее можно считать постоянной на протяжении одного периода гребенки. Поэтому ,между двумя соседними пластинами возбуждается главным образом поле, не зависящее от 2. Это поле должно иметь составляющую Ez, ту же симметрию и определяться функцией IIez, которая в пределах данного периода, например при 0<2</, практически не зависит от z. Поскольку IIez не зависит и от у, поле между пластинками имеет только две составляющие
?г = ?«Щ, Hy = ikdUez/dx(~a<x<0), (66.01)
причем функция IIez должна удовлетворять уравнению
d2 П Vdx2 + к? ПI = 0. (66.02)
Будем считать как пластины, так и проводящую плоскость X=—а идеально проводящей. Тогда при х=—а должно выполняться граничное условие Ez=0, и формулы (66.01) и (66.02) приводят к выражениям
Ez=B sink{х-\-a), Hy=iBcosk(x+a) (х<0). (66.03)
'253 025
Рис. 78. Дисперсия гребенки
Щ
Рис. 77. Гребенка
Зависимость электрического и магнитного поля между пластинами от координаты х совпадает с распределением напряжения и тока в стоячей волне на отрезке обычной линии. Это совпадение физически объясняется тем, что параллельные пластины являются простейшим примером передающей линии первой группы (см. § 29).
Выражения (60.03) и (66.03) определяют поля в разных областях: при л:>0 и л:<0 соответственно. Далее надо подобрать постоянные А и В в этих выражениях так, чтобы на общей границе этих областей, т. е. при х=0, эти поля непрерывно переходили друг в друга. Для этого естественно потребовать выполнения обычных граничных условий равенства тангенциальных составляющих E и H с обеих сторон границы:
Ez\x=+(s = Ez\x=-o, Ну\х=+0 = Ну\х==-0. (66.04)
Отсюда, заменяя на периоде 0<z<l экспоненту ei/iz единицей, получаем соотношения
-P2A = k2B sin ka, —рА = kB cos ka (66.05)
и характеристическое уравнение
p = ktgka, (66.06)
определяющее зависимость продольного волнового числа h и фазовой скорости u=(a/h от частоты:
p=k/cos ka, ufc=coska. (66.07)
По второй формуле (66.07) построена нижняя кривая (г= оо, смысл обозначения раскрыт ниже) на рис. 78. По оси абсцисс отложена величина \=afX=kaf2л, пропорциональная частоте, по оси ординат — коэффициент замедления и/с. Эта кривая определяет дисперсию гребёнки.
Рисунок 78 показывает, что распространение поверхностной волны вдоль гребенки возможно при 0<?<1/4, т. е. при глубине гребенки, не превышающей четверти длины волны в свободном пространстве. При значениях 1/4<?<1/2 такой волны нет, так как правая часть уравнения (66.06) отрицательна. При значениях ?>1/2 уравнение (66.06) может иметь решения, однако их рассматривать не будем. 254 Отметим, что при |=1/4 наступает резонанс в отрезке линии, образованной каждой парой соседних пластин (рис. 77), этот резонанс происходит, когда на длине а укладывается четверть волны. Действительно, соседние пластины образуют линию длины а, разомкнутую при х=0 и закороченную при х=—а. Формулы (66.06) и (66.07) показывают, что если частота меньше резонансной частоты гребенки, то происходит замедление и образуется поверхностная волна. Если же частота выше резонансной, то поверхностной волны нет.
Полученный результат аналогичен известным выводам теории дисперсии. Действительно, диэлектрик без потерь (v=0), имеющий одну резонансную частоту <аг и диэлектрическую проницаемость (8.03) замедляет волну при <й<<йг (тогда е>1 и и= = с/У~в<с). При (й = о)г и отсутствии іпотерь е = оо и U = O (как на рис. 78 при ?=1/4). При более высоких частотах е<1, и медленные волны в среде распространяться не могут.
При s^-0 из формул (66.06) и (66.07) получаем р-+0 и и-+с, и поле волны принимает вид (60.04). Таким образом, при g = 0 по оси г распространяется обычная плоская волна с поперечным полем и скоростью с. Значение ^=O можно получить, полагая G=O, т. е. переходя от гребенчатой структуры к плоскости х = 0. Вдоль этой плоскости может бежать плоская волна (60.04), поскольку ее электрическое поле перпендикулярно плоскости. Значение | = 0 можно также получить, считая Я=оо; достаточно длинные волны распространяются вдоль гребенки так же, как вдоль гладкой плоскости. Этот вывод имеет общее значение, поскольку волны при своем распространении «не замечают» неровностей, размеры которых малы по сравнению с их длиной волны.
