Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Z J г л Z
Y
Периодичность структуры на- [ ___Г
чинает сказываться, когда условие
/to/сі перестает ВЫПОЛНЯТЬСЯ. В Рис. 76. Цепочка четырехполюсников
открытых периодических структурах без потерь (см. § 66 и 67) распространение поверхностной волны возможно только тогда, когда все ее пространственные гармоники медленные, т. е. удовлетворяют условию \hj\>k: тогда согласно § 58 их поля экспоненциально убывают при удалении от структуры. Отсюда видно, что при /Ы~2я распространение поверхностной волны невозможно, поскольку минус первая пространственная гармоника становится быстрой Фактически, однако, распространение возможно только при Н01<п.
Условие hol = n в любой периодической структуре без потерь — открытой или закрытой — обычно определяет границу полосы пропускания и полосы непропускания. При h0l=n, как легко видеть, соседние периоды структуры колеблются в противофазе: А-і = =—ho, а также h-j=—hj-i при /=2, 3,...; сравниваются по абсолютной величине не только продольные волновые числа (т. е. фазовые скорости) положительных и отрицательных гармоник, но сравниваются (из-за противофазности полей в соседних периодах) и соответствующие амплитуды; волна перестает переносить энергию вдоль оси Z, поэтому групповая скорость при hol=n равна нулю.
В этой главе рассматриваются периодические структуры, поддерживающие распространение на низких частотах, причем с возрастанием частоты волновое число h0 также увеличивается. При частоте, соответствующей значению H0I=Zi, структура «запирается», перенос энергии прекращается, и при более высоких частотах распространение невозможно. Возможна и обратная ситуация (т. е. непропускание при низких частотах, распространение при более высоких). Оба эти случая реализуются в простейшей периодической структуре — цепочке четырехполюсников, изображенной на рис. 76 (см. задачу 1).
Соотношения (65.02) и (65.03) аналогичны теореме Флоке в теории линейны« дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами; наиболее важным InpiHMepoM является уравнение
d2 F
— +Q(Z)F = O
с заданной периодической функцией Q(г). Простое (но нестрогое) доказательство соотношений (65.02) для замкнутой системы — периодического волновода (см., например, рис. 79) проводится следующим образом. Предположим, что имеется последовательность векторных функций em, hm — полная система,
'251 так что любое другое решение комплексных уравнений Максвелла представляется в виде разложения по функциям ет и hm. В качестве другого решения возьмем
*'т (*> у> z) = ет (*. У. * + /), hrn (*• г/, г) = hm (*. У. г + I), (65.06)
и по сказанному выше е'т и h'm можно представить в виде разложений
em = S йтп hm — 2 flnn hn (65.07)
п п
с постоянными коэффициентами ат„. Полагая
E=S ^mem, H = 2 'mhm, (65.08)
m m
можно подобрать постоянные коэффициенты Ьт так, чтобы удовлетворялись соотношения Е' = 0Е, Н'=©Н, где штрихом, как в формуле (65.06) обозначена замена г на z + l, а © — постоянный (множитель. Поскольку
E' = 2 bm em = 2 Cimn Ьт en> H' = S o.mn bm hn ^
т т,п т,п
коэффициенты Ьт должны удовлетворять бесконечной системе уравнений
S атпЬт = Э Ьп, ИЛИ 2 (атп— O6m„) Ьт = 0 (65.09)
т т
(omn — символ Кронекера); это возможно при условии, что определитель этой системы
Det(amn—0om„)=O. (65.10)
Последнее уравнение определяет возможные значения 0; каждому такому значению соответствует нетривиальное решение системы (65.09), имеющее вид (65.02), где 0=еш.
Приведенные соображения являются чисто формальными, ,поскольку система (65.08) и определитель (65.10) бесконечные. В общем случае они должны порождать бесконечную последовательность решений вида (65.02). Случай, когда уравнение (65.10), являющееся характеристическим уравнением для данной периодической структуры, имеет корни ©=1 или 0 =—1 (т. е. /і=0 или А/ = л) или же кратные корни, приводит к осложнениям, поскольку тогда волны вида (65.02) не исчерпывают собой всех іволн їв данной структуре: в этих случаях надо учитывать так называемые присоединенные волны.
В обычны« волноводах (см. гл. VII) были рассмотрены волны, имеющие зависимость от г в виде F(z) =e±№z. Функция F должна удовлетворять уравнению
da F
— +A-F = O. -
поэтому такая зависимость реализуется всегда, за исключением критической частоты, когда A=O и F=C+C'z. Волна, у которой амплитуды шлей пропорциональны z1 является частным примером присоединенной волны; она реализуется при строго определенной частоте. При учете потерь (§ 50 и S3) h в нуль не обращается, и зависимость e±Ulz сохраняется при всех частотах.
В § 62 упоминалось об обратных я комплексных волнах, которые для однородных линий .передачи являются в значительной степени экзотическими. В
'252 периодических структурах обратные волны, точнее, обратные пространственные гармоники, существуют всегда, как это видно из формул (65.04), и вопрос лишь в том, насколько они заметны. При 0<Л0/<я из обратных пространственных гармоник наибольшую амплитуду имеет обычно минус первая, у которой —я<А_і/<0, она применяется в лампах с обратной волной. Совпадение волновых чисел достаточно интенсивных пространственных гармоник в двух волнах, бегущих в противоположных направлениях, происходит в периодических структурах довольно часто. При наличии связи между такими волнами образуются комплексные волны.
