Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Ez — — (1 /ik) дНу/дх = — sin ф ( eikz cos * + R1 e~ikz cos") eikx sin <",
Hz = (1 /ik) дЕу/дх= sin ф (elkz cos " + Ri e~ikz cos <P) eikx sin 4>,
поэтому Ez=Hz = 0 при z=0. !Вместе с тем
Ex = cos ф (eikz cos V-R1 e-ikz cos ">) elkx s,n * * 0 при г = 0,
Hx= — cosy (Zikzeos*-R2 eikz cosV) eift*sin<P ф 0 при г = 0.
Поэтому при падении произвольной волны соблюдаются лишь условия Et = 0 и Hz = 0, а тангенциальные составляющие могут быть любыми.
'248 10. Исследовать поле волны EHu в трубке, для чего вывести выражения
для декартовых составляющих поля.
Решение. Полагая в формулах (64.09) т=\ и фо=0, получаем
Ey = —Hx^A0J0(gr)eih^ A0=-IkgAt Ex = Hy = 0 и, кроме того,
^z = IMoZi(ST)Sin ф, Hz*=-—і<Мо/1 (gr) cos ф, ¦& = g/h:«1.
В поперечном сечении силовые линии электрического и магнитного полей —• прямые. Продольные составляющие Ez и Hz возрастают при увеличении г.
Глава XII.
ВОЛНЫ В ПЕРИОДИЧЕСКИХ СТРУКТУРАХ
§ 65. Пространственные гармоники
В этой главе будут кратко рассмотрены периодические структуры простейшего типа: гребенчатая структура, диафрагмированный волновод, ребристый стержень (см. далее рис. 77, 79 и 82).
В общем случае периодическую структуру можно определить соотношениями
в(х, у, z+nl)=z{x, у, z), Ii{х, у, z+nl)=ii(x, у, z),
п=О, ±1, ±2,..., (65.01)
поскольку в данной книге рассматриваются лишь вещества, которые характеризуются комплексными є и [А (см. гл. 1). Периодические структуры, выполненные из идеальных проводников (см. § 66 и 67), определяются соотношениями (65.01) и предельным переходом є->-іоо (§ 24).
Электромагнитные волны в периодических структурах в общем случае удовлетворяют соотношениям
E (.*, у, Z + nl) = elnhl E (х, у, г), H (х, y,z + nl) = H (х, у, z),
(65.02)
т. е. поля E и H в соседних периодах отличаются друг от друга постоянным множителем 9=е1Ы, вообще говоря комплексным. Иначе соотношения (65.02) можно записать в виде
E (X, у, г) = E0 (X, у, z)e>"2; H (*, у, г) = H0 (*, у, г) (65.03)
или в виде
E = fj Е, (X, у) eih? ; H = § H7- (х, у) e'V; h, = h + / Ц- ,
/=— OO /= — OO
(65.04)
где E0 и H0 — периодические по координате z векторные функции,
249 a Ej и Hj — коэффициенты разложения (зависящие от х и у) функций E0 и H0 їв ряд Фурье:
Eo = 2 eJ (*» у) еШяг" < н°= 2 н/ (*• У) е'/2яг/і • (65-05)
/=-OO /=•-OO
Легко проверить, что поля E и Н, определенные формулами (65.03), удовлетворяют соотношениям (65.02); наоборот, если E и H удовлетворяют соотношениям (65.02), то е~ІЛгЕ и е_ІЛгН будут периодическими функциями г, т. е. будут справедливы формулы
(65.03).
В предыдущих главах исследовались системы, однородные по оси г; в таких системах волны записываются в виде (65.03), но E0 и H0 не зависят от z, а зависят только от поперечных координат .г- и у. Периодичность структуры как бы модулирует функции E0 и H0: они приобретают ту же периодичность по z, что и сама структура. После разложения E0 и H0 в ряд Фурье (65.05) поле волны представляется в виде ряда пространственных гармоник
(65.04). Каждая пространственная гармоника имеет свое продольное волновое число hj и зависит от z по закону elh'z — так же, как волна в однородной системе (в которой є и р не зависят от z), но в отдельности, как правило, физического смысла не имеет, поскольку не удовлетворяет уравнениям Максвелла или граничным условиям (или же тому и другому одновременно).
Направление распространения волны (65.03) при наличии потерь определяется мнимой частью hf !поскольку Imhj=Imh, коэффициент затухания всех пространственных гармоник одинаков; если он положителен (1шЯ>0), то волна распространяется в положительном направлении оси z. В отсутствие потерь направление распространения определяется групповой скоростью v=da[dh= = d<o/dhj, также одинаковой для всех пространственных гармоник: если она положительна (и>0), то волна распространяется в положительном направлении оси 'z. Оба критерия (lm/i>0 и и>0) приводят к потоку энергии в положительном направлении оси z (см. § 48 и 51).
Что же касается фазовой скорости иj=<(o[Rehj, то она для каждой пространственной гармоники своя и может быть как положительной^ так и отрицательной — їв зависимости от знака .и абсолютной величины /, т. е. номера пространственной гармоники. Нумерация пространственных гармоник содержит произвол, связанный с тем, что в формулах (65.02) и (65.03) вместо h можно взять h + n2njl (п=± 1, ±2,...). Обычно индекс л = 0 присваивается наибольшей пространственной гармонике, которая при не слишком высоких частотах имеет наименьшее волновое число h0 = h, удовлетворяющее условию IReZi01 <.п[1. При MCl нулевая грамони-ка является преобладающей, и всеми остальными можно пренебречь. Это приближение будет применяться ниже при решении задач, относящихся к периодическим структурам, поскольку более точный расчет, как правило, возможен только в рамках чис-250 ленных методов. В этом прибли- -і. жении периодическая структура 1е считается как бы однородной по оси г, что существенно упрощает рассмотрение.
