Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
В теории диэлектрических трубок проявились основные особенности квазиоптических (открытых) устройств: их характерные размеры велики по сравнению с длиной волны; поле является квазиплоской (локально плоской) волной; потери на излучение носят избирательный характер. В гл. XVII будут рассмотрены другие системы такого типа.
Задачи к гл. XI
1. Полагая ?=і1/|?|е-'б/2, где |?| =il/j/"fe[« 1, а — угол
электрических потерь, исследовать уравнение (60.01) и, в частности, найти условия, при которых фазовая скорость волны Ценнека ы=ш/А' больше скорости света в пустоте. Рассмотреть поле этой волны при 6=0.
Решение. Согласно уравнению (60.01)
к = YiPTpS= кут=? =k (і — -I-P--і-t«+ Jj,
откуда
h' = Keh = k ^l —-L ICI2 cos o— -L ia4cos 26+... ^ .
При 6 = л/2 фазовая скорость и<с, поскольку h=k~^ 1+|?|2>й. В реальных условиях распространения над сушей или ,морем 6< л/2, хотя и б ~ л/2 (в силу чего можно положить cos 26 =—1). Условие и>с, т. е. h'<k, ,реализуется, если
cos o>|?|2/4=l/4|e] или e'=|e|cos6>l/4.
При более точной оценке надо 1/4 умножить на —cos 26.
При 6=0 величина /?=становится чисто мнимой, и можно положить
?=созф, р=і&совф, /г=&8іпф,
244 откуда видно, что формулы (60.02) и (60.03) определяют плоскую волну, падающую дад углом ф на плоскость х=0. Из первой формулы (15.12) следует, что для такой волны — 0, поскольку она падает иод углом Брюстера
(P1 = arc tg (I/O = n/2 — arc ctg (1/0 « n/2 - cos <px w sin ?« I ;
Фі совпадает с углом ф, введенным выше (три ?<1).
2. Решить задачу о распространении волн Em0 в диэлектрической пластине —а<.х<1а при условии, что при х~>а — пустота, а при х<.—а — среда с проницаемостями е0, Цо, для чего представить Пег в виде
IIe2= (B1^sx+ B2e-isx)ethz при —а<х<а (а)
и воспользоваться коэффициентом отражения от границы х=—а R _ (г0/е) cosy—У(е0щ/ец) —sin2qT _
(е0/е) COS ф + У(е0 Цо/Є|і)-Sin2 ф
= e0g-iep0 ^e-Mtt t
e0g + iep0 Io g
и аналогичным выражением для коэффициента отражения /? = е_2і,1) от границы л;=0, для чего положить Єо=Цо=1 и взять р вместо ра, где
Po = "1/*2(ец—е0 Но)—g3, P = Vk2 (w—l)—g2, tgf = ep/g.
При Bo=Ho = 1 получить уравнения (61.06) и (61.08). Получить характеристическое уравнение ири произвольных Єо и |х0 и в случае, когда єо и р,0 близки к проницаемостям е и р, пластины, вывести условие, при котором кроме E00 и W00 других поверхностных волн нет.
Решение. В выражении (а) при х=а первое слагаемое можно рассматривать каїк падающую, второе — как отраженную волну, а при х = —а первое слагаемое — отраженная волна, а второе —¦ падающая. Отсюда получаются соотношения
Bi <г1*а = RB1 eiga, B1 e"1*0 = R0 B3 и характеристическое уравнение
е-41?в = RRo = е-2і(*+ф„)> = f + + ПЯ. П = 0,1 ,2,... , (Ь)
которое при е0 = р,о=1 и четных п эквивалентно уравнению i(61.06), а при нечетных п — уравнению (61.08). Если ер, лишь немного превышает «0Цо, то р20> >0 лишь в узком диапазоне сравнительно малых значений g2, ири которых р2>Ро и g, вследствие чего для поверхностных волн можно положить хр = =я/2; ,уравнение (b) принимает вид
fo = 2 ga— + я. 2Pt>a= — (є0/є) 2ga ctg 2ga. (с)
Как видно из рис. 65,в, оно допускает существование одной поверхностной волны E00 при условии
я/2 < 2 ka 1/ец—е0 (X0 < Зя/2.
Для волны H00 получается то же условие, поскольку для нее в приближенном уравнении (с) ео/е заменяется на цо/ц; впрочем, обычно можно положить
e0/e={x0/{x=ll-
245 3. Как зависит составляющая Єг комплексного вектора Умова — Пойнтинга для вытекающих воли от поперечной координаты х (в двумерных задачах, см. § 61) 'или г (в трехмерных задачах)? Воспользоваться асимптотической формулой (22.,12).
Решение. Пусть вытекающая волна имеет зависимость от z в внде е1Лг, где h=h'+ih"; будем считать для определенности, что А'>:0 и h">О (как на рис. 71). Тогда в двухмерной задаче поле вне диэлектрической структуры (в пустоте) пропорционально е"М, где g=g'+ig", причем должно быть g'>0, !поскольку волны расходятся от структуры. Из волнового уравнения в пустоте следует, что
g'g"+h'h" = 0, h'h">О,
поэтому g"<0 и составляющая Sz пропорциональна e-2«"l*l = е2'в"*1, т. е. экспоненциально возрастает.
В трехмерных задачах поле выражается через функции H1-vIm (gr) и их производные, соответствующие расходящимся волнам. Поскольку g'>0 и
g"<0, составляющая S2 в силу первой формулы (22.12) пропорциональна е-2g"Tjr_ Множитель 1/г обусловлен расходимостью лучей, но экспоненциальное
возрастание S2 преобладает при больших г.
4. Исходя из уравнений (62.05), вывести систему уравнений второго порядка для J1 л J2 и характеристическое уравнение (62.06). Рассмотреть ,распространение волн в системе двух идентичных линий, предполагая, что в начальном сечении 2 = 0 энергия сосредоточена в 1-й ЛИНИИ (/2=0, CZ2=0).
Решение. Дифференцируя уравнения для J1 и J2, получаем соотношения
Ji = (A K1 + Z к) J1 + (Y1 Z + Z2 Y) J2, Ji = {z2 Y2 + ZY) J2 + (К2 Z + Z1Y) J1
или
Jt+ Лі J1= (Y1Z+ Z2?) J2, j\+h\ J2=IY2Z + Z1Y) J1, (а)
