Первые три минуты: современный взгляд на происхождение Вселенной - Вайнберг С.
ISBN 5-93972-013-7
Скачать (прямая ссылка):
Но это в точности та же формула, что и старая формула для du, выраженная через А и dX, за исключением того, что Т заменяется новой температурой
Следовательно, мы заключаем, что свободно расширяющееся излучение черного тела продолжает описываться формулой Планка, но с температурой, падающей обратно пропорционально масштабу расширения.
А' = /А.
тель I//4:
hcf
т/ = т/f'
178
Математическое дополнение
ДОПОЛНЕНИЕ 5. МАССА ДЖИНСА
Для того чтобы сгусток вещества образовал гравитационно связанную систему, необходимо, чтобы его гравитационная потенциальная энергия превысила внутреннюю тепловую энергию. Гравитационная потенциальная энергия сгустка радиуса г и массы М порядка
П.Э. и -GM2/r.
Внутренняя энергия в единице объема пропорциональна давлению р, так что полная внутренняя энергия порядка
В.Э. и рг3.
Следовательно, гравитационное сжатие будет преобладать, если
GM2/г рг3.
Но для заданной плотности р мы можем выразить г через М с помощью соотношения
М=^-рг3.
Условие гравитационного стягивания можно поэтому переписать в виде
ои'»р(^)ф.
или, иными словами,
М > Ми,
где Md (с точностью до несущественного численного множителя) — величина, известная как масса Джинса:
MB=p3/2/(G3^p2).
Например, как раз перед рекомбинацией водорода плотность массы равнялась 9,9 • 10-22 г/см3 (см. математическое дополнение 3, с. 171), а давление равнялось :
р и |с2р = 0,3 г/(см • с2).
Здесь включено давление излучения. — Прим. ред.
Математическое дополнение
179
Поэтому масса Джинса была равна
/ 0,3г/(см • с2) \3/2
D '6,67 • 10-8 см3/(г • с2) s
Х (о О 1П-22 / з)2 = 9’7 • 1051 Г = 5 ' 1018 М®’
V 9,9 • 10 г/см-5 /
где Mq — масса Солнца. (Для сравнения масса нашей Галактики равна примерно 101:lMq.) После рекомбинации давление упало в 109 раз, так что масса Джинса уменьшилась до
Md = (10“9)3/2 • 5 • 1О18М0 = 1,6 • 1О5М0.
Интересно, что это примерно равно массе больших шаровых скоплений внутри нашей Галактики.
ДОПОЛНЕНИЕ 6. ПЛОТНОСТЬ И ТЕМПЕРАТУРА НЕЙТРИНО
До тех пор, пока сохраняется тепловое равновесие, полное значение величины, называемой «энтропией», остается фиксированным. В достаточном для наших целей приближении энтропия S в единице объема при температуре Т дается формулой
S ~ NTT3,
где NT — эффективное число разновидностей частиц, находящихся в тепловом равновесии, пороговая температура которых ниже Т. Для того чтобы удержать полную энтропию постоянной, S должна быть пропорциональна обратному кубу размера Вселенной. Это значит, что если R есть расстояние между любой парой типичных частиц, то
SR3 ~ NTT3R3 = const.
Как раз перед аннигиляцией электронов и позитронов (при температуре около 5 • 109 К) нейтрино и антинейтрино
Рассматривается только давление вещества (см. примечание редак-
тора на с. 82). — Прим. ред.
180
Математическое дополнение
уже вышли из теплового равновесия с остальным содержимым Вселенной, так что единственными частицами, имевшимися в больших количествах в равновесии, были электрон, позитрон и фотон. Мы видим, что согласно табл. 1 полное эффективное число разновидностей частиц перед аннигиляцией составляло
Nao = 7/2 + 2 = 11/2.
После аннигиляции электронов и позитронов в четвертом кадре единственными частицами, которые остались в равновесии в большом количестве, были фотоны. Эффективное число разновидностей частиц равнялось поэтому просто
N — 2
1 упосле —
Из закона сохранения энтропии следует, что
f(TR)l = 2(TR)3nocne.
Это значит, что тепло, выделившееся при аннигиляции электронов и позитронов, увеличило величину TR на множитель
= (11/4)'/» = 1,401.
{1 R) до
Перед аннигиляцией электронов и позитронов температура нейтрино Tv была такой же, как и температура фотонов Т. Но после этого Т просто падала как 1 /R, так что для всех последующих моментов времени произведение TVR равнялось значению TR перед аннигиляцией.
(ЗД после — (TVR) до = (TR)no.
Отсюда заключаем, что после окончания процесса аннигиляции температура фотонов оказалась выше температуры нейтрино в
(Т/Т^после = (TR)nocne/(TvR)noclle = (11/4)1/3 = 1,401 раза.
Речь идет о находящихся в равновесии и взаимодействующих частицах е-*-, е~ и 7. — Прим. ред.
Математическое дополнение
181
Нейтрино и антинейтрино, даже хотя они и не находятся в тепловом равновесии, дают важный вклад в космическую плотность энергии. Эффективное число разновидностей нейтрино и антинейтрино равно* 7/2, или 7/4 от эффективного числа разновидностей фотонов. (Имеются два спиновых состояния фотона.) В то же время четвертая степень температуры нейтрино меньше, чем четвертая степень температуры фотонов, на множитель (4/11)4/3. Следовательно, отношение плотности энергии нейтрино и антинейтрино к плотности энергии фотонов
