Первые три минуты: современный взгляд на происхождение Вселенной - Вайнберг С.
ISBN 5-93972-013-7
Скачать (прямая ссылка):
/ з Г 1/2 ?расш (преобладание излучения), пу 8ттGp у 2/3?расш (преобладание вещества).
(Если p{t2) p(ti), мы можем пренебречь вторым членом в нашей формуле для ti — ^-) Например, при температуре 3000 К плотность массы фотонов и нейтрино равнялась
р = 1,22 • 10“35 • 30004 г/см3 = 9,9 • 10“22 г/см3.
Это настолько меньше, чем плотность при температуре 108 К (или 107 К, или 106 К), что время, требуемое на то, чтобы Вселенная охладилась от очень высоких температур на ранней стадии до 3000 К, можно рассчитать (полагая п = 4) просто как
1
2 у 87г[6,67 • 10 8 см3/(г • с2)](9,9 • 10 22 г/см3)
= 2,1 • 1013 с = 680 000 лет.
Мы показали, что время, необходимое, чтобы плотность Вселенной упала до значения р от значительно больших ранних значений, пропорционально 1/л/р, в то время как плотность р пропорциональна 1/Rn. Поэтому время пропорционально Rn!2 или, другими словами,
2/ I (эРа пРе°бладания вещества),
R ~ t 'п = <
I t ' (эра преобладания излучения).
Математическое дополнение
175
Это остается справедливым до тех пор, пока кинетическая и потенциальная энергии не уменьшатся настолько, что станут сравнимы с их суммой — полной энергией.
Как отмечено в гл. II, в каждый момент времени t после начала имеется горизонт на расстоянии порядка ct, из-за которого никакая информация все еще не может нас достичь. Теперь мы видим, что при t О R(t) уменьшается менее быстро, чем расстояние до горизонта, так что в достаточно ранние моменты времени любая данная «типичная» частица была за горизонтом.
ДОПОЛНЕНИЕ 4. ИЗЛУЧЕНИЕ ЧЕРНОГО ТЕЛА
Распределение Планка дает энергию du излучения черного тела в единице объема, приходящуюся на узкий интервал длин волн от А до А + dX, в виде
du = 82lh?dX
A5
gVfcTA/ _ 1
Здесь Т — температура; к = 1,38 • 10-16 эрг/К — постоянная Больцмана; с = 299 792 км/с — скорость света; е = 2,718 ... — числовая постоянная; h = 6,625 • 10-27эрг • с — постоянная Планка, впервые введенная Максом Планком в качестве составной части этой формулы.
Для больших длин волн знаменатель в распределении Планка можно приближенно записать в виде
е(ктх) _ I ~ J±c_ кт\'
Следовательно, в этой области длин волн распределение Планка дает
du = ^^d\.
А4
Это — формула Рэлея-Джинса. Если ее применить для произвольно малых длин волн, то du/dX станет бесконечной
176
Математическое дополнение
при Л —у 0 и полная плотность энергии излучения черного тела будет бесконечной.
К счастью, du в формуле Планка достигает максимума при длине волны
Л = 0,2014052 hc/kT
и затем плавно спадает с уменьшением длины волны. Полная плотность энергии излучения черного тела равна интегралу
о°
U = J №rfA/[e(*TA) _ i] . 0
Подобные интегралы можно найти в стандартных таблицах определенных интегралов; в результате
= %7TW- = 7’56464 •10-15 • №)]4 эрг/см3.
15(пс)
Это — закон Стефана - Больцмана.
Мы можем легко интерпретировать распределение Планка в терминах квантов света или фотонов. Каждый фотон имеет энергию, определяемую формулой
77Т _ НС
У
Отсюда, число фотонов dN в единице объема излучения черного тела, приходящееся на узкий интервал длин волн от Л до Л + d\, равно
dN = = ^dA/le*™ - 1
he/А Л4
Полное число фотонов в единице объема 1 см3 равно тогда
ОО
N = J dN = 60’42198(^г)3 = 20,28[Г(^)]3 фотонов/см3,
о
а средняя энергия фотона:
Еср = u/N = 3,73 • 10“16[Т(К)] эрг.
Математическое дополнение
177
Рассмотрим теперь, что происходит с излучением черного тела в расширяющейся Вселенной. Предположим, что размер Вселенной изменился в / раз; например, если Вселенная удваивается в размере, то / = 2.
Как мы видели в главе II, длины волн изменяются пропорционально размеру Вселенной и будут иметь новое значение
После расширения плотность энергии du' в новом интервале длин волн от Л' до Л' + dX! меньше первоначальной плотности энергии du в старом интервале длин воли от Л до Л + dX по двум различным причинам.
1. Так как объем Вселенной увеличился в /3 раз, то до тех пор, пока не рождалось и не уничтожалось никаких фотонов, их число в единице объема уменьшилось в /3 раз, т. е. изменилось на множитель I//3.
2. Энергия каждого фотона обратно пропорциональна его длине волны и поэтому уменьшилась на множитель 1//. Отсюда следует, что плотность энергии уменьшилась на общий множитель I//3, умноженный на 1//, то есть на множи-
Если мы теперь перепишем эту формулу, введя новую длину волны А', то она примет вид
