Первые три минуты: современный взгляд на происхождение Вселенной - Вайнберг С.
ISBN 5-93972-013-7
Скачать (прямая ссылка):
Например, если Н равна популярному в настоящее время значению 15 км/с на миллион световых лет, то, вспоминая, что световой год соответствует 9,46 • 1012 километров, мы получаем
Е = П. Э. + К. Э. = той2 [|#2 - |тrpf?].
|Я2 = |тxpG.
ЗЯ2
Ркр —
(8jtG) '
Ркр 8я-(6,67 • 10-8 см2/(г • с2)
X
15 км/с/106 св. лет \2
) = 4,5 • Ю“30 г/см3.
Математическое дополнение
171
В одном грамме содержится 6,02 • 1023 ядерных частиц; такое значение теперешней критической плотности соответствует примерно 2,7-10—6 ядерных частиц в 1 см3, или 0,0027 частицы в одном литре.
ДОПОЛНЕНИЕ 3. МАСШТАБЫ ВРЕМЕНИ
Рассмотрим теперь, как меняются параметры Вселенной с течением времени. Предположим, что в момент времени t типичная галактика массы т находится на расстоянии R(t) от некоторой произвольно выбранной центральной галактики, например нашей собственной. Мы видели в предыдущем математическом дополнении, что полная (кинетическая плюс потенциальная) энергия этой галактики равна
где H(t)Н и p(t) — значения постоянной Хаббла и космической плотности массы в момент времени t. Энергия должна быть всегда постоянной. Однако мы увидим ниже, что при R(t) —> 0 p(t) увеличивается, по меньшей мере, как 1/R3(t), так что p(t)R2(t) растет как 1 /R(t) при R(t), стремящемся к нулю. Чтобы сохранить энергию Е постоянной, два члена в скобках должны почти сокращаться, так что при R(t) —> 0 мы имеем
Характерное время расширения — просто обратная величина постоянной Хаббла, т. е.
РАСШИРЕНИЯ
\н2{1) |тxp(t)G.
Например, в момент времени первого кадра (см. гл. V) плотность массы равнялась 3,8 тысячи миллионов грамм на кубический сантиметр. Отсюда, время расширения равнялось
172
Математическое дополнение
тогда
расш \1 87г(3,8 • 109 г/см3)[6,67 • 10-8 см3/(г • с2)] ’
Далее, как меняется p(t) с изменением R(t)l Если плотность массы определяется массами ядерных частиц (эра преобладания вещества), тогда полная масса внутри сопутствующей сферы радиуса R(t) просто пропорциональна массе ядерных частиц внутри этой сферы и, следовательно, должна оставаться постоянной:
Щ- p(t)R3 (t) = const.
О
Отсюда p(t) обратно пропорциональна R3(t):
м,} ~ т
(знак ~ означает «пропорционально».) В то же время если плотность массы определяется массой, эквивалентной энергии излучения (эра преобладания излучения), тогда p(t) пропорциональна четвертой степени температуры. Но температура меняется как 1 /R(t), так что p(t) в этом случае обратно пропорциональна R4(t):
Pit)
R (t)
Чтобы иметь возможность одновременно рассматривать эры преобладания вещества и излучения, мы запишем эти результаты в виде
ю~Шш-
где
Г 3 (эра преобладания вещества);
\ 4 (эра преобладания излучения).
Кстати, заметим, что при R(t) 0 p(t) растет, по меньшей мере, так же быстро, как 1/R3(t), что и было указано выше.
Математическое дополнение
173
Постоянная Хаббла пропорциональна ^р, и поэтому
П
Но тогда скорость типичной галактики
1--
v(t) = H(t)R(t) ~ [Д(*)] 2 .
Элементарным результатом дифференциального исчисления является то, что если скорость пропорциональна какой-то степени расстояния, тогда промежуток времени, необходимый для того, чтобы попасть из одной точки в другую, пропорционален изменению отношения расстояния к скорости. Более точно, если v пропорциональна _R1-ra/2, это соотношение имеет вид
. _, 2 _ R(t2) 1
1 2 niv(ti) u(i2)-l’
ИЛИ
h~h = п\н(11) ~ Я(*2)]'
Можно выразить H(t) через p(t), после чего получим
Таким образом, независимо от величины п пройденное время пропорционально изменению квадратного корня из обратной величины плотности.
Например, в течение всей эры преобладания излучения после аннигиляции электронов и позитронов плотность энергии равнялась
р = 1,22 • 10“35 • [т(#)]4 г/см3
(см. мат. доп. 6, с. 179). Кроме того, в этом случае п = 4. Таким образом, время, необходимое, чтобы Вселенная охладилась от 100 миллионов градусов до 10 миллионов градусов,
174
Математическое дополнение
составляет
t = i /_____________з_____________х
2 у 87г[6,67 • 10 8см3/(г-с2)]
х Г____________1____________________________1___________1 =
VI,22 • 10“35 • 1028 г/см3 1,22 • 10-35 • Ю^г/см3-1
= 1,90 • 106 с = 0,06 года.
Наш общий результат можно также выразить более просто, записав, что время, необходимое, чтобы плотность упала до значения р от некоторого значения, много большего, чем р,
