Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Решая уравнение (113) итерациями, мы представим одетую вершину Y4 в виде суммы графиков с затравочными вершинами. Если в (113) отбросить вклады всех нетривиальных 4-неприво-димых диаграмм, то получим уравнение паркетного приближения (прогрессия в фигурной скобке (113) после симметризации входит с коэффициентом 1/2 в каждый из трех каналов). Итерации этого уравнения правильно воспроизводят все паркетные графики Г вместе с коэффициентами. Паркетным называется график, минимальными 4-поддиаграммами которого являются
только X и XX ' минимальной 4-поддиаграммой назы-
вается та, которая не содержит внутри себя других 4-поддиаграмм. Отметим, что в литературе паркетными часто называют
238
(см., например, (71]) и другие уравнения, воспроизводящие не все паркетные графики, а только некоторую их часть, которая дает главный вклад в том или ином приближении.
В релятивистской теории поля с взаимодействием X 24-Jdx ф4(х) потенциал A4 имеет вид iko(xi—X2)O(X2-X3)X Хб(х3—X4). Перейдя в (113) к импульсному представлению и сделав одно вычитание, мы обратим в нуль левую часть; в уравнении для собственной энергии (112) затравочный потенциал A2 = —А-1 устраняется двумя вычитаниями. Итерационное решение полученных уравнений приведет к рядам ренормирова нной теории возмущений. Одно вычитание в уравнении (113) не устраняет перекрывающихся расходимостей, которые имеются в графиках с нетривиальными вершинными поддиаграммами, но в процессе итерационного решения перекрывающиеся расходимости разных графиков будут взаимно компенсироваться в каждом порядке теории возмущений.
П. Свойства симметрии полного преобразования Лежандра* „спонтанное взаимодействие". Рассмотрим определенную в § 1.9 группу ренормировочных преобразований поля ф, т. е. совокупность всех линейных неоднородных преобразований вида ф = Zф/ + сс отличным от нуля якобианом Dy/Dy' = detZ.
Пусть А (ф) — ряд (7) с добавленным нулевым потенциалом Aq. Равенство A(q>) = А'(у') определяет индуцированное преобразование потенциалов А-+А'. Для полиномиальной теории с конечным числом отличных от нуля потенциалов преобразование А -+А' не меняет степени "полинома. Сделав замену переменной интегрирования в ,(8), получим G(A) = G(A')det Z„ откуда W(A) = W(A') + trlnZ.
Пусть Г (а) — преобразование Лежандра W(A) по всем потенциалам А. Константа A0 входит в W(A) аддитивно, так что сопряженная переменная a0 = dW/dAQ тождественно равна единице. В правой части (10) константа A0 сокращается.
Преобразование потенциалов А-+ Аг индуцирует преобразование сопряженных переменных а: а (А) -> а (Ar) ^ а/ (А). Пользуясь (S), (9), нетрудно убедиться, что а -> а' есть обычное ренормировочное преобразование полных функций Грина без вакуумных петель (см. § 1.9), а индуцированные преобразования ?-»(*', 7"^y' являются ренормировочными преобразованиями связных и 1-неприводимых функций Грина соответственно: ^ = Z*1 (JJ1—с) и ^'n—(Z'i)n^m т; = (?ТТя Для n>U
Определенные соотношением (69) вершины *{п инвариантны па отношению к ренормировочпым преобразованиям, если определить ренормировочное преобразование величины $*2 = \ формулой X/ = XZ~1T, совместной с определением р2 = Хтл и законом преобразования ?2 = (Z"1)2 ?2 = Z-^2Z"11. Тогда T^ = (XZ-1T1X X (Z>T)n "fa= Tn» что и утверждалось.
233
Рассмотрим теперь преобразование Г (а). Величина
2Л
П
п
(114)
явно инвариантна по отношению к преобразованиЯхМ А N'. Считая в определении (10) независимыми переменными а, учитывая (114) и полученную ранее формулу преобразования W, нетрудно показать, что Г (a') = Г (а) — trlnZ. К тому же выводу можно прийти иначе: в п. 4 было показано, что для полного преобразования Лежандра функционал Г не зависит
от = P1 и представим в виде 1/2- tr In ?2 + Р(т), г^е ^ ~~ ФУнк" ционал от инвариантных вершин (69). При ренормировочном
преобразовании вершины f не меняются, a tr In ?2 заменяется
на tr In & = In det [Z-1Uj Z~1T] = tr In ?2 — 2 tr In Z.
Из полученных выше формул преобразования следует, что функционалы WnT инвариантны по отношению к тем ренорми-ровочным преобразованиям, которые имеют единичный якобиан Dqp/Dq/ = det Z (преобразования из группы движений поля ср в терминологии п. 1.7.3). К числу таких преобразований относятся трансляции, отражения и вращения поля ср; сюда же относятся и калибровочные преобразования.
Искомые функции Грина определяются как точки стационарности функционала Ф(а; А) =Г(а) + IinAnOLn по отношению к вариациям а при фиксированных А. Функционал Ф всегда инвариантен по отношению к одновременным преобразованиям А -+А', а->а' с det Z=I, но инвариантность по отношению к преобразованиям а-+а' при фиксированных А будет иметь место лишь тогда, когда потенциалы А сами инвариантны, т. е. тогда, когда An'=An для всех п. Инвариантность потенциалов эквивалентна инвариантности функционала действия по отношению к рассматриваемому преобразованию поля (р, В этом случае Ф(а; Л)=Ф(а'; Л')=Ф(а'; А), и если не происходит спонтанное нарушение симметрии, то точка стационарности а=а(А) также будет инвариантной, т. е. а' = а.
