Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
10. Уравнения стационарности, перенормировка, паркетные графики. В соответствии с общей схемой п. 1 при известном Г конкретные значения функций Грина (ос, ?, у), соответствующие заданным потенциалам А, находятся путем решения уравнений стационарности (11). Для полного преобразования потенциалы входят лишь в правые части этих уравнений, а сам функционал Г от А не зависит.
В § 1.9 было показано, что ренормировочное преобразование поля эквивалентно преобразованию (1.238) функционала действия и нормировочного коэффициента при функциональном интеграле (8). Коэффициент меняет лишь аддитивную нормировочную постоянную в функционалах W и Г, которая несущественна в уравнениях стационарности (11), содержащих лишь производные Г (подробнее о ренормировочном преобразований Г с учетом аддитивных постоянных см. следующие разделы). Таким образом, в уравнениях стационарности ренормировочное преобразование сводится лишь к изменению их правых частей: если в качестве An подставляются исходные затравочные потенциалы, то решением будут соответствующие этим потенциалам функции Грина, а если в качестве An подставляются преобразованные (ренормированные) потенциалы, то решением будут преобразованные (ренормированные) функции Грина. Сами по себе графики Г и его производных по одетым переменным в левых частях (11) не изменяются.
Если брать Г в виде диаграммного ряда и решать уравнения (11) итерациями, строя искомые функции Грина в виде рядов
* Это полезно иметь в виду даже при изучении теории с нулевыми An для п > 4. Высшие (п > 4) потенциалы можно ввести на промежуточном этапе, а затем положить их равными нулю. Тогда можно просто получать представления скелетными графиками для высших функций ?rt, отбирая связную часть производной ОТ/OAn = Oin. В этих представлениях все скелетные графики будут 4-неприводимыми (т. е .не имеющими нетривиальных 1-, 2-г 3- и 4-поддиаграмм), так как приводимая часть Г (109) не содержит высших потенциалов An с п > 4 и поэтому не дает вклада в производные по этим потенциалам. При построении высших функций ?^ с помощью повышающего оператора (56) неприводимость получающихся диаграмм заранее совсем не очевидна.
236
по затравочным вершинам, то мы придем, конечно, к обычным диаграммным разложениям теории возмущений. В теориях с локальными потенциалами можно очень просто избавиться от всех затравочных и ренормировочных констант в уравнениях (И), сделав в них нужное число вычитаний так, чтобы обратить в нуль их правые части. В результате получим замкнутые уравнения, которым удовлетворяют как неренормированные, так и ренормированные функции Грина. Итерируя эти уравнения должным образом, придем к диаграммным рядам ренорми-рованной теории возмущений; ренормированные параметры в решении появятся как вычитательные константы.
Рассмотрим подробнее случай теории с четырьмя потенциалами Л1...Л4, для простоты предположив ее четной: Л і = Л3 = 0. Для такой теории четвертое преобразование полное, а уравнения стационарности (11) всегда имеют четное решение с «Y1 = уз = 0, так: как Г четен по этим переменным (от Yi полное преобразование вообще не зависит). Именно это нормальное четное решение мы и будем сейчас рассматривать, отвлекаясь от моделей типа [20] со спонтанным нарушением симметрии <Ф -> —ф.
Ввиду инвариантности условия стационарности по отношению к любым заменам переменных уравнения (11) можно записать в виде бФ/бу/і = 0, где Ф — функционал (12). В интересующем нас случае содержательными будут лишь два уравнения стационарности, а именно
Г4 + Л4^ = 0, Г2 + Л2-^ + Л4 ^- = 0, (ПО)
где, как обычно, 1^ = 81^3^. Из определений а, ? и ? нетрудно получить 8а4/^Т4 = Р| 24, следовательно,
Блок в правой части обозначает производную Г4 с ампутированными внешними линиями. Второе из уравнений стационарности (ПО) определяет собственную энергию 2 = Д~1— ?^1 как функционал от одетых переменных ?2 и Y4- Оно эквивалентно обычному уравнению Швингера для 2:
в котором помеченные стрелками затравочные вершины Л4 предполагаются выраженными в переменных ?2, Y4 посредством соотношения (111).
237
Равенство (111) представляет Л4 скелетными графиками
>о<-}>оо(4хххх-...| . ? Ж*-* ' <113>
-a4 = -X*f
где sym обозначает полную симметризацию по аргументам 1—4. Первое слагаемое в правой части — вершина у4 — порождается
графиком Q , первое слагаемое в фигурных скобках порождается первым из 4-непрйводимых графиков (97), остальные слагаемые — 4-приводимыми графиками (109). Отметим, что в четной теории ядро (99) совпадает с у4. Следующие за фигурной скобкой в (113) слагаемые представляют вклад 4-неприво-димых графиков Г выше шестого порядка по числу линий. В четной теории первым из таких вкладов является приведенный в (113) „незапечатанный конверт", которому в Г соответствует полный граф с пятью вершинами. Напомним, чго полным называют граф, в котором любая пара вершин соединена одной линией. Группа симметрии полного графа содержит все перестановки его п вершин, симметрийное число равна п\.
Таким образом, с помощью функциональных преобразований Лежандра можно автоматически получать представления типа полная вершина есть затравочная вершина плюс сумма скелетных графиков, причем явное определение приводимой части Г содержит решение комбинаторной задачи перекрывания в вершинах, поскольку именно приводимая часть Г и только она порождает в правой части (113) и аналогичных ему уравнений графики с нетривиальными вершинными поддиаграммами. Перекрывание в вершине появляется начиная с п = 4, поэтому в Третьем преобразовании Лежандра и не было 3-приводимой части.
