Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Правила построения графиков Г обобщаются непосредственно: преобразование Лежандра содержит все неприводимые скелетные графики с обычными (как в W) коэффициентами и знаками со следующими исключениями, касающимися только полностью одетых (т. е. не содержащих затравочных переменных) графиков. Во-первых, отбрасываются все неприводимые особые графики, имеющие несвязную производную по какой-нибудь из одетых переменных; во-вторых, изменяется знак при графиках, квадратичных по одеваемым вершинам.
9. Четвертое преобразование. Уравнение (73) для четвертого преобразования принимает вид [64]:
2Г2=-Г2"Г+^=7—<Щ^-? . (93)
гое Х = 2 ffi + ff ffi +3 ffl 1?.+ *2 JL+
+ /2 W +/2
5b і»*»». ¦ <*>
Получаемые при итерациях (93) графики первых восьми порядков по числу линий для теории с вершинами A3 и A4 имеют вид
Г= const + у tr І71 $2~J2
1_ 14
±_ т
(95)
229
В такой теории четвертое преобразование — полное, поэтому Г не зависит от Yi = ?i» а все вершины и линии в (95) будут одетыми.
Все графики (95), за исключением последнего, являются 4-неприводимыми, т. е. не имеют нетривиальных 4-поддиаграмм. Напомним, что для п = 4 тривиальными считаются простая вершина X и график >—< .
Анализ свойств неприводимости графиков Г производится точно так же, как и в предыдущих разделах. Предположив, что первые графики Г являются 3-неприводимыми, и проверив, что вычисленная по этим графикам правая часть (93) не может
содержать опасных 2-сечений вида с двумя нетри-
виальными (т. е. отличными от простой вершины Y?) блоками, мы докажем тем самым 3-неприводимость всех графиков Г.
Последовательный анализ вариантов показывает, что в условиях индукционного предположения (3-неприводимость первых
графиков) блоки к г >— и первые пять слагаемых (94)
не могут содержать не только 2-, но и 3-сечений вида
с двумя нетривиальными блоками. Рассмотрим в
качестве примера пятое слагаемое (94) и предположим, что в нем имеется 3-сечеиие, показанное пунктиром в графике (96а) и более детально в графике (966):
5 б г д ^
і <9б>
Согласно индукционному предположению диаграмма (96в), получаемая сведением в одну точку всех внешних линий производной Г4, должна быть 3-неприводимой, т. е. все ее 3-сечения должны быть тривиальными. Это значит, что ^заштрихованный блок в (966, в) должен быть простой вершиной Y3- Но тогда 3-сечение (96 б) не опасно, поскольку левый из отсекаемых бло-
ков является тривиальным графиком ~ >—К,
Другие варианты 3-сечений данной диаграммы показаны в L(96r, д). Сечение (96г) аналогично (96а), остается рассмотреть
230
лишь (96д). Это сечение предполагает наличие диаграмм вида
3^-?^ в производной Г4. Из индукционного предположения о 3-неприводимости первых графиков следует, что оба блока диаграммы должны быть тривиальными, по-
скольку блок
должен быть 3-неприводимым. Следо-
вательно, единственной опасной диаграммой в производной Г4
является график У—< . . Он является производной по у4 от
графика пятого порядка /Я\ , которого, как видно из
(95), нет в Г. Следовательно, в производной Г4 вообще нет опасных диаграмм вида —©—©^ , что и доказывает отсутствие
опасных 3-сечений в рассматриваемой диаграмме. Таким же способом можно доказать отсутствие опасных 3-сечеиий и для остальных членов в правой части (93), исключая последние четыре графика (94), к анализу которых мы и переходим.
Прежде всего обсудим возможность наличия в этих графиках опасных 2-сечений. Ясно, что они могут возникнуть лишь от
диаграмм вида в производной Г4, которых, как
мы только что убедились, нет. Следовательно, в условиях индукционного предположения о 3-неприводимости первых графиков в правой части (93) не может быть диаграмм с опасными 2-сечениями, что доказывает 3-неприводимость всех графиков Г.
Переходя к 4-неприврдимости, рассмотрим возможность наличия в последних четырех слагаемых (94) графиков с опасными 3-сечениями. Ясно, что они могут появиться лишь от графиков вида г^Г^с: в производной Г4. Такие графики действительно есть; в частности, приведенная в (95) диаграмма
шестого порядка дает в F4 вклад XX .
Если бы мы сделали индукционное предположение о 4-не-ириводимости, действительно справедливое для первых графи-
231
ков (95), то из него следовало бы только то, что блоки, входящие в опасные диаграммы z^z@=r производной Г4, должны быть тривиальными. Когда речь шла о 3-неприводимости,, опасная диаграмма с тривиальными блоками отсутствовала, по теперь это уже не так, — имеются следующие три 4-неприводи-мых графика
которые порождают в F4 диаграммы вида zXj^©~ , приводящие при подстановке в последние члены (94) к опасным 3-се-чениям, следовательно, порождающие в следующем порядке 4-приводимые диаграммы. Последние в свою очередь также порождают вклады вида ^Ш^Ш^ в Г4, что приводит к появле-
нию новых 4-приводимых диаграмм, и т. д.
Таким образом, Г содержит бесконечное число 4-приводимых диаграмм, и задачу можно видеть лишь в том, чтобы полностью их охарактеризовать. Чтобы это сделать, отберем в обеих частях равенства (93) графики с опасным 3-сечением в прямом канале, которые, как мы знаем, могут содержаться лишь в четырех последних слагаехмых (94):
