Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
22а
варьируемый функционал следовало бы находить из микротео рии — в этом вся разница.
8. Третье преобразование Лежандра. При анализе графике третьего преобразования мы будем исходить из уравнения.(73), которое при т = 3 принимает вид
Различные блоки в правой части определены соотношениями (46)-(49).
Итерационное решение этого уравнения строится по общей схеме п. 5 без каких-либо принципиальных затруднений. Графики первых восьми порядков по числу літний в теории с вершинами Л3 и Л4 выгляцят следующим образом:
Г = consttrln^^XT^^S^^"^*
(88)
В соответствии с общими правилами линии, „хвостики и вершина с п = 3 в этих графиках являются одетыми, а вершина с п = 4 — затравочной.
Назовем k-сечением графика всякий набор k штук его линий, одновременный разрыв которых приводит к разделению графика на д^е несвязанные между собой части. Связность есть отсутствие 0-сечений, !-неприводимость есть отсутствие 0- и !-сечений, 2-неприводимость есть отсутствие 0-, 1- и 2-сеченип. Начиная с k = 3 неприводимость уже не имеет смысла определять как отсутствие всех s^fe-сечений, поскольку, например, любой график с вершинами у3 всегда имеет 3-сечения: наборы тех трех линий, которые соединяют вершину уз с остальной частью графика. Поэтому начиная с k = 3 вводится понятие нетривиального k-сечения [52]: по определению сечение считается нетривиальным, если разрыв соответствующих линий приводит к разделению графика на две нетривиальные части. Для к = 3 тривиальной считается часть, являющаяся простой вершиной Уз= У~ і & ПРИ k = 4 тривиальной считается, во-первых, простая вершина X » Во вторых, „борновский
график" Уз $2Тз = >-\ . Для &>4 тривиальная часть включает уже бесконечное число графиков [66], но в этой книге мы будем иметь дело только с 3- и 4-неприводимостью.
224
Итак, k-неприводимость есть отсутствие нетривиальных s-ce~ чений для всех s^k.
Рассматривая графики (88), нетрудно заметить, что все они являются 3-неприводимыми и первые из них получаются из (76) по следующему рецепту: 1) отбрасываются все 3-приводи-мые графики; 2) отбрасываются два особых 3-неприводимых
графика ^X4 » которые выделены тем, что произ-
*
водная от них по вершине несвязна; 3) изменяется знак при
графике 4) остальные графики (76) и коэффициенты
при них остаются неизменными, только вершину с п = 3 следует теперь считать одетой, т. е. Л3->у3.
Эти правила справедливы в действительности для всех порядков теории возмущений. Чтобы сформулировать точное утверждение, выделим из W прообразы тех графиков, которые претерпевают существенные изменения:
W(A) 4 - і 4 — 4 A+fO + 77© - * (А) • ' (89>
огда
Г =ttrU±.tr Iv^1-J4^+ 3-н.час.щ W(A1—Д —^2; A3-уд). (90)
Доказательство строится все по той же схеме: на первом этапе с помощью уравнений движения доказывается 3-неприводи-мость всех графиков Г, а на втором этапе производится сравнение 3-неприводимых графиков Г и W путем отбора 3-н. части равенства (10) для m = 3.
Этот путь не является единственно возможным — полный анализ графиков Г можно выполнить, как это и было впервые сделано Доминисисом и Мартином [52], непосредственно из определений (9), (10). Для этого нужно подставить в (9) функционал W в виде диаграммного ряда, разрешить итерациями полученные уравнения относительно затравочных переменных An, представив их тем самым диаграммными рядами в одетых переменных, наконец, подставить полученные ряды для An в правую часть (10) и проверить, что все приводимые графики взаимно сокращаются. Точным аналогом такого доказательства для О-неприводимости (т. е. связности) является прямая проверка компенсаций всех несвязных графиков в разложении In G(Л), эквивалентная приведенному в п. 1.4.8 доказательству связности логарифма /?(ф):
15 Зак. 102
225
Недостаток этого метода — необходимость знания многочисленных нетривиальных свойств симметрийных коэффициентов,, на которых и основывается доказательство взаимной компенсации приводимых графиков в правой части (10). Напомним, что аналогичное по духу доказательство связности логарифма в п. 1.4.8 требовало знания соотношения между симметрийным коэффициентом при несвязном графике и коэффициентами его связных компонент. При переходе к 1-, 2- и т. д. неприводимо-стям доказательство взаимной компенсации приводимых графиков становится все более сложным, и результаты Доминисиса и Мартина [52] основаны на многочисленных комбинаторных леммах, взятых из других работ. Достаточно полное представление об этой комбинаторике можно получить из обзорной статьи Блоха {7O]; там же можно найти много других полезных сведений относительно вариационного принципа в статистической физике.
Мы считаем, что использование уравнений движения существенно упрощает доказательство неприводимости, избавляя от всех вопросов, связанных с симметрийными коэффициентами.
Возвращаясь к нашей задаче, докажем 3-неприводимость всех графиков Г. Присутствие двух последних диаграмм в правой части (87) ясно показывает, что стоящая сейчас перед нами задача значительно труднее, чем предыдущие доказательства 1- и 2-неприводимости. Раньше было так, что каждое из слагаемых в правой части итерируемого уравнения порождало при итерациях лишь графики с нужным свойством неприводимости, и все доказательство сводилось к констатации этого факта. Теперь это заведомо не так, ибо последние члены в правой части (87) порождают при итерациях графики вида
