Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
При / < k и s < т имеем
5 Я-^?Д*)?*(*0 = 8/АтЛ(*, *')• (19)
Для антикоммутирующих полей все вариационные производные в (18) будут считаться правыми. Равенство (19) справедливо тогда для обеих статистик.
Объекты внутри фигурной скобки в (18) являются классическими — это обычные функционалы и их вариационные производные. Как указано явно в (18), все оставшиеся после дифференцирования классические поля ф^ следует заменить на
"квантовый оператор ф.
Переходя к доказательству ,,формулы приведения" (18), замечаем, что для п = 1,2 она совпадает с (17). Допустим, что
формула верна для любого числа k^n множителей ф; и докажем, что она справедлива и тогда, когда число множителей
Л Л
равно п+1. Обозначив для сокращения записи у(Хі) = фг-, за-
Л АЛ
пишем последний множитель фп-и в виде суммы CLn+I + Ьп+\. Воспользовавшись перестановочными соотношениями для one-
Л А
раторов а и Ь, получим:
А Л А АЛ АЛ Л
Ti ... <ря+1 = <Pi ... «РяЯ/і+і + 2 bn+i <Pi ... <P„ +
п
+ У Sft" (-V*> *n+l) [?1 • • • ?a]ft. (20)
fc=l
где [cpt ... <?n]k обозначает произведение Cp1 ... срЛ без множителя срь а s и ok — знаковые множители, для бозонов всегда равные 1, а для фермионов г = (— \)п и eft = (—1)л"Л.
В дзух первых слагаемых в правой части (20) множители а и Ь стоят в нужном („нормальном") порядке и, пользуясь правилом (18) для п множителей <р, сумму этих двух слагаемых можно записать в виде
N[PnVi ... ?J..A+i + s йяи^пср1 ... «PnI^j1 (21)
16
где $*п — операция приведеная для я-множителей:
П(1+-4г»"4г). (22)
/<fe=l
а символ |... имеет такой же смысл, как и в (18).
Выражение в фигурных скобках (21) является оператором пей знаком Лг-произведения. Пользуясь симметричностью по-
сдеднего, множитель On+1 можно вернуть в крайнее правое положение. При этом существенно, что в операторном полиноме і^яФі • • • фп|... все мономы имеют одинаковую четность, поскольку поля сворачиваются парами. Отсюда следует, что при
Л
перестановке этого полинома с Ьп+{ возникает дополнительно {для фермионов) точно такой же знаковый множитель є, как и в
Л Л
{21), и поэтому в крайнем правом положении операторы а и Ь
группируются в оператор поля фп+ь#Это доказывает, что выражение (21) можно записать в виде N{?Pnq>\- . .фл+і} |.... Напомним, что операция приведения не содержит производной
ІГО фп+і.
Рассмотрим теперь сумму по k в правой части (20). Пользуясь формулой (19) и правилом приведения (18) для произве-
дфшя [ Cp1 ... <ря]А, содержащего п — 1 множитель, приводим зту сумму к виду
п
п
2 в*^«(іІ7л"«іЬ"г*?',+1)[?1 '• • ^1*1-- (23)
А Л
„Операцию приведения для [фЬ . . фп]А мы записали в той же форме (22), как и для п множителей, поскольку дополнительнее члены с производными по щ все равно не дадут вклада: в дифференцируемом выражении нет поля щ.
г. Теперь нужно вернуть множители Cp^ и <?п+1 в их естественное положение. В фермионном случае, считая обе производное правыми, имеем
Дифференцирование по cprt+1 справа не вносит знакового множителя, последующее дифференцирование справа по yk дает множитель ( — 1 )n~k, равный четности перестановки yk направо, раковый множитель ек в (23) также равен ( — 1)л~А, что позволяет записать (23) в виде
"2
Добавив сюда полученное ранее выражение для суммы двух Йервых слагаемых в правой части (20), заключаем, что пол-
^Зак. 102 17
ная операция приведения для п+1 множителя записывается в виде
1+2І-і(8/8<р*)л(8/8,р»+ї)
Сравнив с определением (22) операции if\, находим, что написанная выше операция есть Рп+и и это доказывает по индукции формулу (18).
Еще раз напомним, что в фермионном случае все вариационные производные считаются правыми.
2. Sym- и Т-произведения. Существуют и другие ,-,произведения", под знаком которых операторы поля ведут себя подобно классическим объектам. Прежде всего это обычное сим-метризованное произведение операторов поля:
Sym [ T(X1) .. . і (Xn)] = ± 2 ?рР I ? • • • * <*«)] • (24>
Суммирование производится по всем п! перестановкам P операторов ф, гр имеет обычный смысл. Из этого определения и из (17) получаем:
Sym [?(-*) ? (л')]= N [i(x) $(*)] +п,{х, л'), '
где ns — симметричная часть простой свертки п:
ns = -Y(n + mT). (25)
Очень важную роль в теории играет хронологическое или T-произведение
T[Hx1)... ?(*„)] = 2Sp/3{8(1 ... Zi)T(X1) ...?(*„)}• (26)
Здесь и далее на протяжении всей книги
6(1...^) = 6(/,...^=^6(^-^). . (27)
k-= 1
Суммирование в (26) производится по всем одновременным
Л
перестановкам множителей у(Х{) и времен t{ в 9-функции.
Выражение (26) однозначно определено (и симметрично) лишь тогда, когда все времена t\. . Jn различны, а при совпадении всех или части аргументов t\ оно нуждается в доопределении. В качестве такового мы потребуем равенства Sym- и T-произведений на поверхности t = const.* Это эквивалентно до-
* Иногда доопределяют не Sym-, а W-произведением (см., например, [2], с. 221).
определению 9-функции (27) на ее поверхностях разрыва (поверхности совпадения некоторых подгрупп аргументов ti) с помощью полной симметризации относительно перестановок совпадающих аргументов. В частности, при t\ = t2 полагаем 0(12) = 8(21) = 1/2. При таком доопределении Г-произведе-ние остается симметричным и при совпадении любых подгрупп временных аргументов.
