Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
При нулевой температуре, т. е. в теории поля, формулы типа (42) определяют энергию основного состояния с точностью до аддитивной постоянной, не зависящей от одночастичных энергий. В аналогичную (45) формулу для фермионной теории § II.2 вместо температурного пропагатора g войдет пропагатор (11.26) одноуровневой задачи: A(Y, Ґ) = Q(t—t')exp ie(t'—t), если
168
\
уровень свободен, и A(X V) =—9(T—t) ехр і є (7'—если он занят. При V = / получим соответственно A(X = ±1/2, что даст є для разности энергий, как и требуется.
§ 2. РЕШЕТОЧНЫЕ СПИНОВЫЕ СИСТЕМЫ
1. Модель Изинга. В этой модели каждому узлу і некоторой пространственной решетки сопоставляется оператор момента Si, имеющий лишь два собственных значения ± 1 (спин вверх, спин вниз). Операторы S1- разных узлов коммутируют между собой, так что в этой системе вообще нет некоммутирую-щих операторов и ее можно считать классической.
В качестве гамильтониана берется следующее выражение {4I]:
H = — ~
2™т
Ik і
первое слагаемое которого представляет обменное взаимодействие моментов, а второе — взаимодействие с неоднородным внешним полем h. Взаимодействие задается вещественной симметричной матрицей °?ґ, имеющей нули на диагонали. Обычно рассматриваются трансляционно-инвариантные системы, для которых V"ік зависит лишь от разности координат узлов і и к, а внешнее поле hi однородно, т. е. не зависит от /. Однако с технической точки зрения удобнее считать вначале W и h произвольными параметрами, конкретные значения которым приписываются лишь в окончательных формулах. Для сокращения записи обозначим A = [Ai = ?ft2} и А = {ДгА = ?fik}- Тогда
1 5.5
ехр
Z = Xx ехр
\ sAs -{- As
2 ЬА ЬА
Z(0)(A), (47)
где Z(0) (А) = tr ехр As. При получении второго равенства мы воспользовались тем, что дифференцирование по At равносильно умножению на s( под знаком tr ввиду коммутативности всех S1. Функционал Z(0) распадается в произведение по узлам и легко вычисляется: он равен произведению множителей 2 ch А;. Отсюда
Jt (А) = In Z(0) (А) = V In 2 ch A1 = In 2 ch А. (щ
і
Правая часть (47) имеет вид производящего функционала S-матрицы (1.84), что дозволяет перенести на статсумму модели Изинга все результаты § 1.4, касающиеся диаграммных представлений S-матрицы: статсумма Z есть сумма единицы и всех графиков с линией А и производящей вершиной (48), а ее логарифм W = InZ есть сумма всех связных графиков. В данной теории взаимодействием считается линия, а не вершина. Линия А содержит множитель ?, так что классифицируя диаграммы
169
по числу линий, мы приходим к высокотемпературным разложениям по степеням ?.
Производящая вершина (13) представляется в виде суммы по узлам, поэтому вершинные множители (1.97)' оказываются локальными: производные Jtn(Ix ... in) = dnJ{ dALl ... дАі
отличны от нуля лишь при совпадении всех индексов Z1 ... іп. Например, Jl1 {I) — th Ah <f(2(ik) ~oik(\ — ih2 A1), и т. д.
Помимо самой статсуммы Z и ее логарифма W физический интерес представляют производные этих функционалов по переменной А. Наиболее важны произзодные д W1OA1 = = ((Si)), определяющие среднее значение момента Sn т. е. намагниченность узла /, и вторые производные д2 W1OA1OAk-= {(sisk)) — ((s/c)), представляющие матрицу корреляции моментов. Диаграммные представления для этих величин получаются автоматически из диаграммного представления W.
При практическом расчете коэффициентов высокотемпературных разложений в нулевом внешнем поле обычно используется не фейнмановская диаграммная техника, о которой говорилось выше, а так называемая техника диаграмм на решетке, которая опирается на специфический вид обменного взаимодействия (т. е. матрицы W) и слабо связана со стандартным формализмом теории поля. Мы не будем на ней останавливаться, а отошлем интересующегося читателя к книгам [42, 43].
Приведем интегральное представление для статсуммы, лучаемое обычны^ образом из (47) и вполне подобное npv. ставленню S-матрицы (1.168):
-1 ^-1? +1^Ch/?+ Л)
гп-
^ Ks
Z = const \ Dv ехр
(49)
Здесь ф = {ф7} — вещественное поле на репіетке, Оф = Шф;,
а нормировочная постоянная определена так, чтобы правая часть (49) обращалась в единицу при отбрасывании 1п2сЬ(ф + Л).
Отметим, что приближение стационарной фазы для интеграла (49) приводит к хорошо известному уравнению самосогласованного поля Вейсса для намагниченности; последняя, будучи логарифмической производной Z по А, представляется как функциональное среднее от Ш(ф + Л).
Определение (47) можно понимать как еще одно интегральное представление статсуммы:
Z — const ^ Dob (ср2 — 1) ехр
где о (ср2— 1)= TTfO (ср]—1). Представив эту З-функцшо функ-циональным интегралом Фурье ~ \ D'j ехр її (ср2—1), полу-чим для Z представление в виде интеграла пэ паре полей ср, 6.
170
Приведем в заключение дифференциальные уравнения для Z. Обычное уравнение Швингера (п. 1.7.1) для интеграла (49) неэффективно ввиду неполиномиальности взаимодействия ln2chr, но искомые уравнения очень просто получаются непосредственно из определения (47):
2dZ,o\k = d2Z dAidAk, і Ф k\ O1Z 6A1OA1 = Z. (50)
