Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Требование выпуклости вниз функции \У(х) содержит в себе ссе смычные условия положительности термодинамики, такие, как положительность теплоемкости, восприимчивости и т. п. Приведение:: выше доказательство положительности второй вариации (41) будет вполне строгим лишь тогда, когда р-матрица действительно является хорошо определенным оператором с конечным следом и все рассматриваемые величины математически корректны. Такими свойствами обладают системы, заключенные в конечном объеме, при определенных предположениях относительно характера взаимодействия [40]. Требование выпуклости автоматически переносится и на бесконечно протяженные системы, если при этом величина W(x) определяется путем строгого предельного перехода из конечного объема.
IK Представление статсуммы свободной теории функциональным интегралом. Покажем, что при правильном определении свободного действия справедлива формула
Z = const j Df ехр S? (?), (42)
в которой нормировочная постоянная не зависит ни от вида взаимодействия, ни от одночастичных энергий. Отличие от формул п. 6 в том, что в (42) определяется сама статсумма, а не только отношение Z/Zq.
Поскольку мы знаем, что отношение статсумм равно отношению входящих в (42) интегралов, достаточно проверить справедливость утверждения (42) для свободных теорий.
166
N Начнем с одномерного квгнлтовомехднического осциллятора, для которого
cc
ехр|
l
i
i' \
1
\П + тг
2 sh
-1
(43)
С другой стороны, для осциллятора 2S^ = сгдеср,
где Kc =
m\d2/dt2—си2]. Вычислив гауссов интеграл в правой части (42)
по правилу (І.І45), получим const det KQ \ Здесь и далее сопы обозначает любую постоянную, пе зависящую от одноча-стичпих энергии, в данном случае от со.
Операция Л'е действует на пространстве периодических функций {2Z) с четными гармониками. Последние являются собственными функциями Ke с собственными значениями — in [оь2
2лл/[3. Вычисляя определитель как произведение
+ f.2], ГДЄ COn
COuCTE
J-/ X. J-1 I 1
ых чисел, получаем
del Kc * -- const
со
со
L л-1
1 4
(44)
Мы зпделплп множитель с п = О и учли удвоение по знаку л.
Бесконечное произведение в квадратной скобке вместе с множителем Oj сходится к 2?~lsh [рсо/2], так что гауссов интеграл в правой части (42) пропорционален (43), что и требовалось доказать.
Обратимся теперь к нерелятивистской теории § II.2, для которой S? = \J)~/\cij:, где Ke = —d/dt—<§. Вычислив гауссов интеграл з (42) для комплексного поля \J\ по формулам
(1.140). (1.160), получим det Кё' с точностью до несущественного множителя. Как обычно, х = ± 1 в зависимости от статистики. Определитель Ke можно найти, как и для осциллятора, через произведение собственных чисел, но для разнообразия мы поступим иначе, воспользовавшись формулой типа (1.147). ~
Допустим, что одночастичпый гамильтониан g имеет чисто дискретный спектр еа. Определитель Д'е распадается, очевидно, на произведение по всем уровням а, так что нам достаточно решить одноуровневую задачу, т. е. вычислить определитель операции K=—d/dt—є, действующей на пространстве комплексных периодических функций времени.
Используя є как параметр /, в формуле типа (1.147), напишем
dtr in/С дг
X(K
—і
fr (t
(45)
Здесь я = вон
¦К
6 .у —температурный пропагатор для одноуровне-лдачи (являющийся резольвентой линейной операции —d/dt на пространстве периодических функции). Ядро g. известно из формул (G), (9), (10): g(tt і') = [Q(t—t')+кп]ехр e(t'—t),
ig7
где я — среднее число заполнения — известная из (8) функция є: я = ехр(—?e)/l—к ехр(—?e).
Чтобы найти след g, нужно проинтегрировать функцию g(t, t) по t в интервале [0, ?]. Наше ядро g(t, V) содержит разрывную 6-функцию, которую следует доопределять как полусумму предельных значений в точке разрыва: 8(Y—t) = 1/2. При таком доопределении g(t, t) = хп + 1/2 не зависит от t и Ug = = ?[xft+l/2]. Вычислив по известной функции /г (є) первообразную* по є, получим tr ln/C = const + In[I — х ехр (—?e)] + ?s/2. Умноженная на —х сумма таких выражений для всех уровней а должна совпадать, если формула (42) верна, с логарифмом статсуммы рассматриваемой свободной теории. Но сравнение с формулами (7) показывает, что в действительности совпадения нет. Различие — в слагаемых ?e/2, которых нет в (7).
Тому, кто припишет это правилу доопределения 6(/—і) = 1/2 и усомнится в нем, можно сразу же возразить, что непосредственное вычисление определителя как произведения собственных чисел подтверждает полученные выше формулы. Дело здесь в самом определении свободного действия. До сих пор мы не интересовались возможностью добавления к свободному лагранжиану константы — во всех формулах, исключая (42), такая константа просто поглотилась бы различными нормировочными множителями. Но в соотношениях типа (42), определяющих саму статсумму (или энергию основного состояния в теории поля) , а не ее сдвиг при включении взаимодействия, такая константа существенна. Чтобы ее учесть, нужно распространить на свободный гамильтониан правило, сформулированное в п. L3.2 для гамильтониана взаимодействия: квантовому оператору сопоставляется классический функционал, представляющий Sym-форму квантового оператора. Тогда получится, что обычная квадратичная форма Ij)+Ae^1, которую мы всегда брали в качестве свободного действия, соответствует в действительности не оператору H0 = Se^a^?a, а оператору Sym Игааа+аа = H0 + E0. Константа E0 = х2єа/2 есть сумма энергий вакуумных колебаний всех осцилляторов поля. Чтобы убрать эту константу и получить правильный гамильтониан H0, к свободному лагранжиану нужно добавить константу E0, что дает добавку $Е0 к действию S®. Эта добавка сократит ненужные слагаемые ?ea/2 в логарифмах гауссовых интегралов и восстановит соответствие с формулами (7). Отметим, что для осциллятора подобный вопрос не возник, потому что его гамильтонианом считается именно Sym-форма.
