Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Васильев А.Н. -> "Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике" -> 6

Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.

Васильев А.Н. Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике — Ленинград, 1976. — 295 c.
Скачать (прямая ссылка): funkcionalmetodi1976.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 < 6 > 7 8 9 10 11 12 .. 121 >> Следующая

Интегралы на грассмановой алгебре будут рассмотрены в п. 6.2.
4. Нормальное произведение операторов свободного поля.
Последующее изложение в равной степени относится к релятивистской квантовой теории поля, к нерелятивистской квантовой механике в представлении вторичного квантования и, наконец, к обычной квантовой механике систем с конечным числом степеней свободы. Во всех этих случаях процедура канонического квантования свободной теории хорошо известна, и мы не будем на ней останавливаться. Дополнительные сведения о различных конкретных системах читатель найдет в гл. II, а здесь мы ограничимся следующими замечаниями.
Зависимость от времени операторов квантованного свободного поля в представлении взаимодействия, называемых в дальнейшем просто операторами свободного поля, определяет-
13
ся квантовомеханическим законом развития <$(х) = ср(ї, х) =
л л
= ехр(ШоОф(0, х) ехР(—і'НоО, где 1P^' х)—оператор поля в шредингеровском представлений, H0 — свободный гамильтони-
ан. В то же время оператор ф(х) всегда удовлетворяет классическому уравнению движения (2). Операторы поля в разных точках (анти) коммутируют между собой на с-число.
Перейдем теперь к определению понятия нормального произведения. Допустим, что оператор свободного поля ©(л;) можна
л А
представить в виде суммы двух слагаемых а(х) + Ь(х), таких,, чіо а(х)а[х') = *а(х')а(х)9 b(x) b(xf) = %b(x')b(x) и
a(x)b(xr) — r.b(x') а(х) = п(х, х'), (13)
где X= ± 1 в зависимости от статистики, а п(х, хг) — некото-рая с-числовая функция, называемая в дальнейшем простой' сверткой поля ср.
Будем говорить, что произведение нескольких множителей
л л
a(X1) и b[yk) имеет нормальную форму, если в этом произве-дении любой из множителей b находится слева от любого из множителей а. Нормальным произведением множителей
Л л л л
Ci(X1)... а (хп)% Ь(ух)... Ь(утп), расположенных в произвольном порядке, назовем выражение
b (у,)... b (у Ja(X1) ... d (хп), (14)
в котором єр есть знаковый множитель, всегда равный I для бозониого поля, а для фермионного поля єр = 1, если исходное произведение сводится к произведению в (14) четным числом
л л
перестановок /г + m множителей а и Ь, и гр = —1, если числа
необходимых перестановок нечетно.
Обозначив нормальное произведение символом ЛГ, можна написать:
N {P [ Ь (V1) ... * (ym) Ci(X1) ... а(хп)}} =
с
Ь(Уг) ... b(ym) Ci[X1) ... а(хп),
где P обозначает произвольную * перестановку множителей
Л Л
а и Ь.
Это определение распространяется по линейности на любые
л л
полиномиальные формы, построенные из операторов а и 6, т. е.
N[V1Tl ...}=? ЛГ{П ... ], N[HlL ... } = aN [Tl ... }, N [а] = а,
(15)
/
_ Л Л
где П. .. обозначает любое произведение множителей а и Ъ, а — произвольная константа (с-число).
14
Правила (15) определяют символ N как линейную опера-
Л
цию на множестве полиномиальных форм, построенных из а и
Л
Ь: каждой такой форме F однозначно сопоставляется форма F' = NF. Но отсюда не следует, что N можно понимать как линейную операцию на множестве операторов: существуют различные полиномы, которые равны как операторы, а из операторного равенства Fx = F2 не следует, что NF1 = NF2. Контрпримером может послужить операторное равенство (13), для которого
.V [а (х) b(x') — %b (х') а (х)] =0=?п(х, xf) = ;V [п (х, х')}.
Это показывает, что в символе NF нельзя, вообще говоря, заменять оператор F на равный ему оператор F''.
Л Л
Представив каждый множитель произзедения у(х{) ... v(xn) в виде суммы a + b и пользуясь правилами (15), мы опреде-
А Л
ляем тем самым символ N[^(X1) ... <f(xn)\. В частности, таким путем получим
N[y(x) ч(х')] = \(х')-п(х, X'), (16)
где а — та же функция, что и в (13).
Из определения ясно, что yV-произведение симметрично, т. е. поля под знаком Л'-произведения ведут себя подобно классическим объектам—коммутируют в случае бозонов и анти-
коммутируют в случае фермионов: TV {P [ ^(X1) ... у(хп)] \ =
Л Л
= epyV [ Cp(^t1) ... $(хп)]. Здесь P — произвольная перестановка
Л
множителей ф(лГг), ер имеет обычный смысл.
§ 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ФОРМУЛИРОВКИ
ТЕОРЕМ ВИКА
1. Теорема Вика для простого произведения. Хорошо известная (см., например, [1]) теорема Вика определяет правило
л л
Приведения К НОрмаЛЬНОЙ форме ПрОИЗВедеНИЯ ф(#і). • . ф(#7і)-
Для п = 1,2 имеем
V(X)=Nv(X), o(x)i(x') = N[i(x)i(x')+n(x,x% (17)
Первое из этих равенств очевидно, а второе есть соотношение (16).
Мы будем доказывать по индукции справедливость следующего правила приведения к iV-форме:
. .., (18)
4<к '
»
где знак |..., как н далее, обозначает = <р2 = ... = »„ =<р.
15
/
В этой и последующих формулах у(х) обозначает классический аналог q>(x)? т. е. обычное классическое поле для бозонов и антикоммутирующее поле для фермионов. Поля фь . .фп в правой части (18) рассматриваются как независимые функциональные аргументы, дифференциальные квадратичные формы понимаются следующим образом:
5 Пт^—^е Г Г dx dx' , °, ч п (X1 5
OV1 осрд, ^i{x) ' WH-*')
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 < 6 > 7 8 9 10 11 12 .. 121 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed