Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Васильев А.Н. -> "Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике" -> 5

Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.

Васильев А.Н. Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике — Ленинград, 1976. — 295 c.
Скачать (прямая ссылка): funkcionalmetodi1976.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 < 5 > 6 7 8 9 10 11 .. 121 >> Следующая

Набор конечного числа попарно антикоммутирующих объектов ф = фь .. фл* на языке математики представляет собой множество образующих конечномерной грассмановой алгебры, а сама алгебра определяется как совокупность всех полиномов, построенных из фі .. . фп. Число независимых мономов ^/Г • • • 9 У tu конечн°, поскольку, во-первых, любые два монома, отличающиеся лишь перестановкой множителей, совпадают с точностью до знака и, во-вторых, ни один из мономов не может содержать дважды какую-либо из образующих ф; — перестановками два одинаковых множителя фг- можно было бы подвести друг к другу и затем воспользоваться вытекающим из антикоммутативности образующих равенством ф? =0. Отсюда
ясно, что мономом старшей степени является произведение всех образующих фг-. Полное число всех независимых мономов, включая единицу, равно, как легко подсчитать, 2?г, т. е. грассмано-ва алгебра с п образующими представляет сс^ой конечномерное пространство размерностью 2П, и ее общий элемент может быть записан в виде линейной комбинации
/(«P) =/о + 1 W Ъ + 2 Л ('"• *) + •'• • (6)
с произвольными числовыми коэффициентами fk(h • • . U)-
Обычные функции типа ехр фг- понимаются в виде рядов, которые, как правило, обрываются (например, ехр фг == 1+фг).
Все нечетные мономы антикоммутируют между собой, а всякий четный моном коммутирует с любым другим.
Для грассмановой алгебры вводятся понятия производных
->
по фг, причем различаются производные ,,слева" (д/дсрі) и про-
изводные „справа" (д/дфг). Действие левой производной д/дфг-на произвольный моном определяется следующим образом: ес-
* В книге будут очень часто встречаться функции и функционалы многих переменных, и для сокращения записи формул мы не будем ставить запятых при перечислении аргументов (например, "функционал от переменных Фі .,. фл", или Wn(Xi ... Xn)). В тех относительно редких случаях, когда речь идет о произведении величин, а не о перечислении, это ясно из контекста или указывается терминами "моном", "произведение".
Ii
ли данный моном не содержит множителя фг, то результат равен нулю, если же он содержит фг- (и только один), то этот множитель нужно перевести в крайнее левое положение путем перестановок и затем вычеркнуть, или (что эквивалентно) просто вычеркнуть, добавив знаковый множитель ± 1 в соответствии с четностью перестановки фг- влево. Правая производная определяется аналогично, только теперь фг- нужно переводить в крайнее правое положение. Производные различаются, поскольку четность перестановки налево и направо в общем случае различна. Легко проверить, что левые и правые производные коммутируют между собой, а одноименные производные антикоммутируют.
При обобщении этого языка на случай поля ц>(х) аргумент X воспринимается как непрерывный индекс. Поле ф представляет собой набор антикоммутирующих образующих грассіугано-вой алгебры (т.е. ф(Х)фОО=—Ф (X') ф (X) X а различные функционалы ^(ф) являются элементами этой алгебры. Вводятся левая и правая вариационные производные по ц>(х), каждая из которых действует на отдельный множитель (р(х') по обычному правилу:
8 <р (jc')/8<p (х) = S ? С*')/8<р (JC) == 8 (je — х'). (7)
Если же дифференцируемое поле отделено от символа б/бф другими множителями, то его предварительно следует вывести перестановками в одно из крайних положений (в соответствии с характером производной) и затем уже дифференцировать па правилу (7). Вариационные производные обладают такими же свойствами коммутации, как и обычные.
Приведем несколько справочных формул, которые понадобятся в дальнейшем, предоставив их доказательство читателю. Для любого функционала ^(ф) и любого четного п
Ц (Xi) " " " (Xn) VT/ Sep (Xn) * • * Ocp (X1)
Отсюда, учитывая антикоммутативность одноименных производных, получаем
8/8? (jc). 8/8?(jc')= 8/8<р(*).8/8<р (*'). (9)
Пусть теперь (р(х) и Л(X) — пара антикоммутирующих (в том числе и друг с другом) полей. Тогда
ехр (- фЛ) F(~8 /Sep) exp (<pA) = F(A +1/8?), (10)
ехр(Л 8/8«P)F(Cp) = FOp+ A). (H)
12
Здесь и далее используются сокращенные обозначения:
ff А == J dx <р (х) A (X)9 А 8/8<р t= Jrfjc А(лг) 8/8<р (х).
Отметим, что операция б/бф антикоммутирует с множителем Л вследствие антикоммутативности А и ф. Из (10) имеем
/48/89) ехр срЛ = F(A)CXp срЛ. (12)
Соотношения (10) — (12) являются непосредственными обобщениями обычных правил действия с вариационными производными. То, что в эти обобщения входит именно левая производная, есть следствие принятой формы записи: все операции ставятся слева от функционала и действуют в порядке очередности — сначала ближайшая к нему, затем следующая, и так далее.
В дальнейшем системы с обычными полями будут называться бозонными, а с атикоммутирующими — фермионными. Свободное уравнение движения для фермионных полей также имеет вид (2), но операция К, являющаяся ядром формы (4), будет теперь не симметричной, а антисимметричной вследствие антикоммутативности множителей ф(Х)фОО- Для краткости мы будем называть ядро К симметричным в обоих случаях и писать К = кКт, всегда подразумевая симметрию, согласованную со статистикой: здесь и далее на протяжении всей книги у, = 1 для бозонов Uk= — 1 для фермионов. Для комплексного фермионного поля (а в реальных моделях фермионные поля всегда комплексны) симметрия ядра проявляется, как и в бо-зонном случае, только при использовании универсальных обозначений:
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 < 5 > 6 7 8 9 10 11 .. 121 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed