Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
8
будет обозначать интегрирование по всем непрерывным и суммирование по всем дискретным компонентам х, символ б(х—х') будет обозначать произведение б-функций для всех непрерывных и б-символов Кронекера для всех дискретных компонент х. Наконец, 6(х—x')=o(t—t')o(x—х') и fdx...= = Jdt fdx. . ., причем интегрирование по времени, если не указано противное, всегда подразумевается в пределах от —оо до 4- со.
В таких обозначениях коммутационное соотношение (1) справедливо для всех систем.
2. Классическая свободная теория.* Свободными будут называться такие системы, для которых лагранжиан является квадратичной формой от поля или его производных конечного порядка. Для таких лагранжианов классическое уравнение движения линейно и его можно записать в виде
KV = 0, (2)
где К— некоторая линейная операция на множестве полей ф, явный бид которой определяется лагранжианом. Часто оказывается удобным понимать К как линейную интегральную операцию
[Kv](X) = ^dx'К {л, X') у [х') (3)
с должным образом подобранным ядром К(х, х').
Линейную операцию К будем называть t-локальной, если по переменной t она является обычной дифференциальной операцией конечного порядка; функционал F(t, ф) будем называть t-локальным, если он зависит лишь от поля и его производных конечного порядка в фиксированный момент времени t. Примером /-локального функционала является любой лагранжиан, из /-локальности лагранжиана следует /-локальность линейной операции К в (2). Для /-локальной операции ,ядро К (х, хг) содержит б(/—t') и ее производные конечного порядка, так что интегрирование по времени ї в (3) снимается.
Соответствующее уравнению (3) свободное действие формально можно представить в виде квадратичной формы
So (cf) = 4- =4- Г f dxdx1 ср (X) К(х, х') ср (х% (4>
* Термин "теория" в этой книге употребляется в разных значениях: в. широком смысле (квантовая теория поля, релятивистская теория) * и в узком — для обозначения конкретной системы или класса систем с определенной динамикой (свободная теория, теория Хф4, теория с действием (..-К и т. п.). В этом смысле, например, модель Изинга — конкретная теория.
Такое использование термина стало употребительным в специальной литературе, так как оно позволяет избежать многократного повторения громоздких конструкций типа "система с лагранжианом взаимодействия Хер4", и т. п.
ео в действительности для перехода от обычного выражения
's0= J dt 2?q (t) к форме (4) нужно выполнить интегрирование по частям и отбросить получающиеся при этом внеинтеграль-пые члены. Например, для свободной частицы в одномерном
•
пространстве о =~q(t), S^o — mq2^, K= — md^jdt1 и K{t, tr) =
= —md2b(t — t')'dt2. Выражения 2S0~m J dtq2 и 2So = —ш J dtqq различаются, очевидно, внеинтегральным членом. В истинной теории поля для перехода к форме (4) обычно бывает необходимым интегрирование по частям не только по времени, но и по пространственным аргументам х.
Формулу (4) можно отождествить со свободным действием только тогда, когда последнее рассматривается как функционал на пространстве достаточно хорошо убывающих полей, а ядро К в этом случае без ограничения общности можно считать симметричным: К = Кт, где Кт — транспонированная операция, ядро которой получается перестановкой аргументов из исходного (К1 (х, х)=К(х',х)). Это определение транспонирования приложимо и к дифференциальным операторам, поскольку их можно представить интегральными операциями с б-образными ядрами, и эквивалентно следующему простому правилу транспонирования первой производной : дт = —д.
Равенство К = Кт выражает следующее утверждение: операция К в уравнении (2), получаемом из требования стационарности свободного действия, всегда будет симметричной линейной операцией на пространстве достаточно хорошо убывающих полей.
Уточним смысл- симметричности ядра для комплексного поля ф, ф+. Форму ф+Кф с произвольным ядром К всегда можно записать в виде полусуммы {ф+/Сф + ф/(тф+]/2, которая в универсальных обозначениях ф = Фь ф+ = Фг примет следующий вид:
?)(?¦)=-»-•*•¦ - <5»
По определению транспонирование блочной операции есть транспонирование соответствующей матрицы, сопровождаемое транспонированием каждого из ее блоков. Ясно, что матричное ядро Ж в (5) симметрично в этом смысле независимо от свойств ядра К.
3. Антикоммутирующие поля. В квантовой теории есть и такие системы/ у которых операторы канонических переменных удовлетворяют не^ перестановочным соотношениям (1), а .антикоммутационным перестановочным соотношениям
q (X) р (X') + р (X') q (X) = і 8 (х - х').
10
Іакие соотношения появляются в теории тождественных частиц, подчиняющихся статистике Ферми. Исторически к ним пришли путем известной процедуры вторичного квантования, но при желании их можно рассматривать как естественный рецепт обычного „первичного" квантования не вполне обычных классических систем, обобщенные координаты которых являются не простыми, а антикоммутирующими функциями. Ниже приводятся лишь необходимые для дальнейшего краткие сведения об антикоммутирующих величинах (более подробную информацию можно найти в (2]).
