Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
+ Г' = 4"ЛіАЛ*+ W" —(226)
85
Будем считать независимой переменной alf тогда A4— функционал от Ot1, определенный соотношением (208):
A1 = - = A'1 at - 4^- = Д-Ч - Ti. (227)
Подставив A1 в таком виде в (226), получим
Г'=-1-Г;дг;+ W'. (228)
Теперь возьмем 1-неприводимую (1-н.) часть этого равенства. Первое слагаемое в правой части состоит из двух бло-
ков Гь соединенных одной линией А, так что все эти графики 1-приводимы. Учитывая доказанную ранее 1-неприводимость Ти
заключаем, что Г совпадает с 1-н. частью функционала W\ в котором переменная A1 выражена через а{ посредством соотношения (227). Потенциал A1 входит в графики W' в виде вершины, к которой присоединяется одна линия А. Ясно, что если при подстановке (227) мы учтем хотя бы один раз добавку Tx, то полученный график окажется 1-приводимым, поскольку он будет содержать блок ГІ, соединенный одной линией с остальной частью ,графика. Отсюда
Г'(<х1э Л") = 1-н. часть W(A1 = A-1Oc1, А"). (229)
Доказанное утверждение делает излишним итерационное построение функционала Г': достаточно взять все графики W, сделать в них замену Ai==A_1ai и затем отбросить те из полученных таким образом графиков, которые окажутся !-приводимыми. Полезно напомнить, что W содержит все возможные связные графики со стандартными симметрийными коэффициентами.*
Графики Г можно классифицировать не'по числу вершин, а по каким-нибудь другим признакам, например по числу петель. В беспетлевом приближении (приближение деревьев) в правой части (229) удерживаются лишь вклады графиков первого порядка по вершинам An, п^З. Вместе с нулевым приближением (224) это дает .
rAep=4-tr 1п л+2 А«а? • (23°)
п ф 1
При переходе к варьируемому функционалу (209) добавится линейный член Aicxi и сумма по п сгруппируется в полное действие (192):
«К ^ = 4-^11^ + /5(^). (231)
* Графики функционалов Г и W в нескольких порядках приводятся в Приложении 2.
86
Это приближение для Г соответствует ведущему члену приближения стационарной фазы (см. п. 6.6) в функциональном интеграле.
§ 9. РЕНОРМИРОВОЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Мы будем называть ренормировочным любое невырожденное линейное неоднородное преобразование оператора гайзенбергов-
Л
?Кого поля фг(Х):
i = ZA?; + a, УГ = г-Чъ — а), (232)
где Z—линейная операция с det Z^O (чаще вместо Z пишут Z1^), а(х)—'параметр трансляции, подобный классическому полю ф(х), т. е. обычная функция для бозонов и антикоммути-рующая — для фермионов.
Цель этого раздела — вывод формул индуцированных (232) преобразований для различных функционалов. Исходной точкой является соотношение (58), определяющее функции Грина
Л AAf
без вакуумных петель поля срг. Заменив в (58) срг на срг, по-
А >
лучаем функции Грина поля срг. Введя соответствующий производящий функционал
, H'{A) = V -L н'п{1Af = (01 Г0ехр і (?'ГА) 10)
А '
(мы вернулись к обозначениям п. 4.9) и выразив в нем срг
Л " ,AA
через срг с помощью (232), с учетом равенства Z-1Cp1,= cprZ~1T .получаем
И! (A) = H(Z-^A) ехр [- iaZ-^A]. (233)
Согласно (86) производящий функционал полных функций Грина G(A) отличается от H(A) множителем G0, представляющим вакуумные петли. Положим по определению G0' = Go; тогда функционал G будет преобразовываться точно так же, как и Н. Переходя к логарифму, находим закон преобразования производящего функционала связных функций Грина:
W {A) = W{Z~llA) — iaZ~llA. (234)
л г л
Отсюда видно, что при сдвиге срг=срг— а изменяется только тіервая связная функция (W\ = Wx—а), тогда как все прочие
Л t Л.
Wn, п Ф 1, остаются неизменными. При растяжении CpP = Z-1Cp1, любая из функций Wn получает множитель Z-1 на каждый
«аргумент х: Wn = Z~n Wn (см. замечание после формулы (131)). В частности, полный пропагатор D = W2 преобразуется по правилу D' — Z--D. Если понимать D как ядро линейной операции, то формулу преобразования следует записывать в матричном виде: 1У = Z~]DZ~1T.
87
Исходя из определения (132) производящего функционала ампутированных функций Грина и известных законов преобразования связных функций, легко получаем
W*m'(А) = Wam (ZA) — iaD~xlZA. (235)
Остается найти формулу преобразования производящего функционала 1-неприводимых функций. В обозначениях этого раздела определения (206), (207) принимают вид Г (a) = W(A) — — it.А, /а = oWjoA. Закон преобразования Г (а) нетрудно найти по известному закону преобразования W(A). Мы приведем лишь результат, предоставив его доказательство читателю:
Г' (а) = Г (Za + а). (236)
Пользуясь полученными формулами, всякое уравнение в вариационных производных для любого из рассмотренных выше функционалов можно переписать в терминах преобразованного функционала.
В различных физических задачах ренормировочное преобразование (232) используется для перехода от исходного
гайзенберговского поля срг к ренормарованиому полю <рг =
== Трен, удовлетворяющему некоторым добавочным требованиям, с помощью которых фиксируется вид преобразования (232). Если теория обладает некоторой симметрией (трансляционная,, релятивистская или иная инвариантность), то обычно всегда требуется, чтобы ренормировочное преобразование не нарушало этой симметрии. Параметр сдвига а фиксируется
