Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
W3
(216)
где sym обозначает полную симметризацию по аргументам функции W4. Повышающий оператор 2), действуя на выражения типа (216), дифференцирует поочередно каждую из линий по правилу (215) и каждую из вершин Гп, присоединяя к ней добавочную линию D. Дифференцируя таким образом выражение (216) для Wa, получаем
»5 = )^=^о-ф-^
у та
Написанные выше равенства можно разрешить относительно 1-неприводимых вершин Гп, выразив их через ампутированные вершины:
бут
(217)
и т. д. Общая формула легко получается с помощью соотношений (212):
г —/.Ml JLV1 —
ЬА
п-1
A1.
(218)
Роль повышающего оператора для 1-неприводимых функций Tn играет
S)1 =
OOti
ЬА\
ЬА
D^1S).
1
(219)
2. Уравнения движения для Г. Задача о построении связных функций Wn по известному функционалу Г становится содержательной тогда, когда мы можем определить Г независимо от W. Для этого нужно написать полную систему уравнений движения для Г, которая определяла бы этот функционал точно так же, как система (199), (200) определяет функционал W. Это мы сейчас и сделаем.
Нужные уравнения получаются из уравнений (199), (200) заменами Лі~>аь W-+T независимых переменных и искомого функционала. Во все уравнения входят определенные соотношением
6*
83
(201) функции Hn, которые теперь нужно выразить через Г с помощью соотношений (206) и (213):
ал — Г
і Ь
2
00C1
ai-I
OC1. (220)
¦in.
Отметим, что Hn содержит слагаемое cti
Выразив потенциал Ax в уравнении Швингера (200) через Г с помощью соотношения (208), получаем (напомним, что Д =
=-V)
= - Д-Ч + 2;=3 [!'(«- 1) П AnHn.,. (221)
В уравнения связи (199) помимо Hn входят частные производные W по потенциалам An, пф\. Чтобы выразить эти производные через Г, продифференцируем равенство (207) по некоторому потенциалу An с пф 1, считая при этом cti независимой переменной, а А [ — функционалом от cti и остальных потенциалов Af/ = {Aп, пФ
ЬТ _ Ш_ oW_ M1 ЬА± _ bW_ ( 9 .
ЬАп ЬАп 1 ЬАХ ЬАп 1 ЬАп ЬАп
В левой части равенства 6/6An есть частная производная в переменных ось А", а в правой — в переменных A=[Ax, А/г}. Равенство (222) позволяет переписать уравнения связи (199) в 'виде
WIhAn = HJnI, пф\. (223)
Система (221), (223), вместе с (220) определяет функционал Г с точностью до аддитивной постоянной.
3. Итерационное решение уравнений, доказательство !-неприводимости. Систему (221), (223) можно итерировать, строя решение в виде степенного ряда по вершинам An, п>3. Для нулевого приближения из (220), (221), (223) получаем:
8IVJa1 = --^4; 8Г/8Д,= 1; 8Г/8А2 = (^-^)/2. Эта система легко решается (ср. с (203)):
Г(0) = I tr In А + A0 - 1 агЄг*а19 (224)
где A = —Л2-1. Для определения разности Г'=Г—Г<°) достаточно уравнений (223) с п>3. Рассмотрим первые шаги итерационной процедуры на простом примере теории типа ф3 с единственной отличной от нуля вершиной Лз. Свернув для удобства уравнение (223) для я = 3 с Л3, имеем
84
Здесь использованы графические обозначения предыдущего раздела: жирная линия—- полный пропагатор D= — IVі, заштрихованный кружок — F3. Кроме того, введен „хвостик44
для обозначения переменной аь а точка соединения трех линий или „хвостиков14 обозначает A3.
В нулевом приближении из (224) находим: D = A, Г3 = 0. Подставив эти величины в правую часть (225), определяем графики Г первого порядка: г э J + j Линия в этих графиках обозначает затравочный пропагатор А. При вычислении следующих порядков величину D следует представлять
в виде ряда D=-IT1= (A-1 — Г^)-1 = Д + ДГ^Д + ..., где
T'2 = o2Trjba^ Если сравнить это равенство с определением
собственной энергии У = А-1 — D~\ видно, что F^ = 2 в переменных аь А".
Вычислив D и T3 с учетом найденных ранее графиков первого порядка, нетрудно найти графики Г второго порядка
_! <з> + 4- wOw, и т. д.
12 *
Все приведенные графики Г являются 1-неприводимыми, т. е. остаются связными при разрыве любой одной линии. Нетрудно понять, что в процессе итераций уравнения (225) !-приводимые графики вообще появиться не могут, поскольку это уравнение обладает свойством сохранения !-неприводимости, подобно тому как уравнения (204) обладали свойством сохранения связности: если все графики Г вплоть до некоторого порядка являются 1-неприводимыми, то возникающие при итерациях (225) графики следующего порядка также будут 1-неприводимыми. Причина проста: в аналогичных уравнениях (204) для W 1-приводимые графики порождались при итерациях теми слагаемыми полиномов Hn, которые содержали множители Wu изображавшиеся в (204) блоком, соединенным одной линией с вершиной An. При переходе к Г весь блок Wx становится независимой переменной он и перестает участвовать в итерациях. Это соображение справедливо для взаимодействия с любыми потенциалами А.
Доказав таким образом 1-неприводимость всех графиков Г, обсудим теперь вопрос о коэффициентах при этих графиках. Для этого перепишем определение (207), выделив из функционалов W и Г соответствующие нулевые приближения
(203), (224) (W = W(0)+ W\ Г = Г(0)+ Г'):
