Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Уравнение (25) легко решается итерациями. В четырех первых порядках по m получаем
1 1
Q = m -j- m'm + tj- ni"mm + m'm'm + m'm'm'm + у m'm"mm -f-
1 1,1
•f - m"ni'nini -|-1 ffl"mm m { 7 m"'mmm + ,.. , (27)
где m, m', m" и m'" обозначают соответственно оператор m (E) и три первых его производных в точке E = O. Воспользовавшись определением m (E) = gpp (E + E0) и явным выражением (16) для g, получим из (27) ряд
теории возмущений по степеням V. В четырех первых порядках
Q = PVP + PVAVP + PVAVAVP - PVA2VPVP + PVAVAVAVP — — PVAVA VPVP - PVA2VAVPVP — PVA2VPVAVP +
+ PVA3VPVPVP + ... , (28)
где обозначено A = P' (E0-H0)-"1. Отметим, что в (28) дают вклад лишь три первых члена (27), поскольку для любой из производных m разложение начинается-со второго порядка по V, а для ш —с первого. Приведем также оператор Z с точностью до членов порядка V3:
Z = P- PVA VP - PVA VAVP - PVAVA2VP + + PVA3VPVP + PVPVA3VP + ... .
Полезно также отметить, что в случае невырожденного уровня, когда Q = = Д? является простым числом, уравнение (25) можно переписать в виде Д? = m (Д?) = gpp (E0 4- ДЕ), поскольку правая часть (25) оказывается тогда
обычным рядом Тэйлора.
Докажем теперь асимптотические формулы (3). Из (1Oj видно, что
о t
Up,p(0, — T) = — і J dt J* di'IAp,p(t, t')UppXt', - T). (29)
-T -T
В регуляризованной теории интегралы по t и Ґ хорошо сходятся, так что Аля получения асимптотической формулы можно распространить интегрирование по t и Ґ до — оо, а оператор Vpp заменить его асимптотическим
выражением ехр [—/Q(^' + T)]Z. Получим
Up,р (0, — T) ^ Qp,p ехр [—/QT]-Z, (30),
где
о t
QP>P=-i і* dt J* dt' ехр (iU0t) Gp,p (t — Ґ) ехр [— і (E0 + Q> t'\. (31)
«У «.'
— 00 —co
Соотношение (30) совместно с (1) доказывает первую из асимптотических формул (3), поскольку U(O, — T)P = \JPP (0, — T) + 1)р,р (0, —T) =
= [P + Qp'p] ехр [—/Qr]-Z. Зная разложения (К), (28) для операторов g
282
и Q, можно вычислить по формуле (31) любое число членов ряда теории возмущений для волнового оператора Q = P-J- Qpfp. В трех первых порядках по V получим
Q = P + AVP -f AVAVP - A2VPVP + AVAVAVP -— AVA2VPVP - A2VAVPVP - A2VPVAVP + A3VPVPVP + ... . (32)
В согласии со вторым равенством (6) этот ряд можно просто получить, отбросив левый множитель PV в (28). Разложения (28), (32) совпадают, конечно, с теми, которые получаются в адиабатической теории [83] и в стацио-* нарной теории возмущений.
Асимптотическое представление (3) для второй половины S-матрицы по~-лучается совершенно аналогично.
Если не пользоваться разложениями в ряды теории возмущений, то интегрирование по t и f в ^(31) можно выполнить явно лишь тогда, когда хотя бы одна из двух операторных экспонент в (31) в действительности не операторная, а числовая. Так будет, в частности, для невырожденного уровня — оператор Q является тогда простым числом. Для вырожденного уровня оператор Q можно заменить его собственным значением G)0, = А?а, если
рассматривается действие волнового оператора на собственный вектор P1F01 = ZO0, оператора Q (напомним, что Wa—точные волновые функции,
P1F01=ZG)0,—их проекции в X0, Фа — собственные векторы Q+ в X0). Заменив в (31) Q на AE а и подставив вместо G его спектральное представление
(15), можно выполнить интегрирование по t и f, а затем и интегрирование по ? в (15) (по вычетам в верхней полуплоскости Е). В промежуточных формулах нужно удерживать регуляризующий параметр є, который обеспечивает СХОДИМОСТЬ ИНТеграЛОВ ПО Времени И Определяет ПОЛОЖеНИе ПОЛІОСО0
в ^-плоскости; в окончательной формуле можно перейти к пределу є = q< Мы приведем лишь результат:
I
Здесь ?а = E0 + АЕа — точные собственные значения Н, gprp(S а) — проект ция оператора g (E) при Е—?а.
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
ГРАФИКИ И СИММЕТРИЙНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ
Мы приведем графики разных типов в низших порядках (порядком считается число линий). Все графики сопровождаются симметрийными коэффициентами.
А. 1-неприводимые по вершинам (звездные) майеровские графики. До шестого порядка включительно их 10:
в седьмом — 7:
2
В восьмом — 16:
4
ф*
В девятом порядке, который мы не приводим, таких графиков 42.
Графики А входят в первое преобразование Лежандра для классического газа (вириальное разложение) и модели Изинга.
Б. Все 2-неприводимые по вершинам графики до девятого порядка:
72
+
11 ЧИ
^ /2
hu
Они входят во второе преобразование Лежандра для газа.
284
В. Все связные майеровские графики, т. е. графики без закороченных И сдвоенных, строенных и т. д. линий. Они получаются из графиков А построе-нием "деревьев звезд" [8]:
в которых каждый из блоков представляет сумму всех графиков А. До четвертого порядка включительно таких графиков 11:
•+ —
2
I 2
Л 6
8 *—*
Л
7
В пятом порядке таких графиков 12, в шестом — 30.
Г. Связные графики с обычными (не майеровскими) линиями, но без закороченных. Получаются из графиков В заменой каждой из линий на
—{-©¦1-е+....
До третьего порядка включительно их 9:
2
1рЛДЛ L Л. . ¦ .ДаДо
В четвертом порядке их 12, в пятом — 33, в шестом—102.
