Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Для дальнейшего отметим, что оператор g (E) регулярен по ? в окрестности точки E = E0i поскольку мы предположили, что уровень E0 изолированный (конечно, лишь в порядках теории возмущений). Отсюда следует, что как сам g(E), так и все его производные являются эрмитовыми операторами в точке E = ?>
Рассмотрим проекцию Upp (X1, х2), которая, как уже говорилось, зави
сит лишь от разности T = X1 — х2. Поэтому без ограничения общности можно положить X1 = Т, X2 = 0.
Общий член ряда (9) является, очевидно, полиномом по Т, старшая степень которого равна числу блоков Мрр в цепочке (наш параметр T является аналогом 1/а в адиабатическом формализме). Для получения асимптотической формулы (I) мы должны выделить явно всю зависимость от Г и доказать, что получающийся степенной ряд по T собирается в операторную экспоненту.
279
Решим сначала первую задачу. Проекция Мрр (/, /') = G (t — Ґ) X
X ехр іЕц (t — V) зависит лишь от разности t — Ґ. В энергетическом представлении
M
рр (/, t') = -^- J dE m (E) ехр iE (t' — t)
(18)
имеем т (E) = gрр (E + E0). Если для каждого из блоков Мрр (ty t') в (9)
ввести новые переменные X = (t -\- t')j2 и x = t — t', то зависимость от переменных X войдет лишь в аргументы 0-функций в (9) и поэтому можно попытаться выполнить явно интегрирование по этим переменным. Для переменных t, Ґ интегрирование в (9) производится по области T > t > V > 0» следовательно, при фиксированном i — t~t' > 0 интегрирование по х производится от т/2 до T — т/2. В общем члене ряда (9) с п блоками Мрр
интеграл по переменным X1 ... Xn от произведения 6-функций выглядит следующим образом:
Т-*п12
dx^ ...
dXffi (X і — лго —
t1 + Zr
trt_i + V
2
V2 , ,rJ2
Он берется явно и оказывается равным (все X1 неотрицательны)
л!
6 T
Следовательно, для проекции ирр(Г) получаем
T
со
V PP (Г)^^ЧГГ~1 J• • • ^/.Мрр (t1, 0) я=0 6
••• Мря(т„, 0)6 I Г- 2 **)(:
ft=l / \
(19)
Это точная формула, так как мы пока не делали никаких приближений. Регуляризованный оператор Мрр (т, 0) убывает экспоненциально при
т-^оо, так что все интегралы по т в (19) хорошо сходятся. Отсюда ясно, что отбросив в (19) 6-функцию и распространив интегрирование по всем Xk ДО бесконечности, мы вносим лишь экспоненциально малую ошибку. Это приводит нас к асимптотической формуле
со
/1=0
(- О*
со
0
dix ... ^тлМрр (t1, 0)
... Мрр (тл, 0) ( T
(20)
Вся зависимость от T выделена явно, и остается лишь собрать степенной 4>яд по Г в экспоненту. Воспользовавшись тождеством
П ч л /л
280
и равенством (18), представим правую часть (20) в виде двойного ряда:
со It
"рр<П = *'<""-*>1 Tk{Ш)П~кт"- (21)
/1=0 ft=0
Здесь и далее m = m (?), 2) = djdE и подразумевается, что после выполнения дифференцирования нужно положить ?==0.
Поменяв в (21) порядок суммирования, получаем ряд
со
Upp (Г) = 4" zft (- <т>*. (22)
в котором
kl
/г ==0
со
21 4" 0^+*- (23)
Сразу же отметим, что при в — 0 все операторы Z& эрмитовы вследствие эрмитовости оператора m (E) = gpp (E + E0) и всех его производных
в окрестности точки ? = 0. Теперь покажем, что
ZA = Q*Z, ? = 0, 1,2,..., (24)
где Z = Z0, a Q — оператор, определенный соотношением
со
Q=^-^0"m.Q*. (25)
/1=0
Для доказательства воспользуемся равенством
п
f3)
подставив которое в (23), получим систему уравнений для Z^:
со
ZA+1 === ^ ^ ^ят.Zn+* = mZA+ S)III-Za+1 + ... . (26)
Определим повышающий оператор соотношением Z^+1 = Q&Z&. Этот оператор можно построить в виде ряда по m с помощью уравнений (26). Из (23) видно, что минимальный порядок по m в Zk равен k, так что минимальным порядком по m для является первый, а не нулевой. Следовательно, для определения Qk в низшем порядке по m в правой части (26) нужно оставить лишь ^первое слагаемое, так что в этом приближении Z^+1 = mZk и Qfc = m. В следующем порядке нужно учесть в правой части (26) и вклад Zk+i в найденном ранее приближении, но слагаемыми с Z^+2 и выше все еще можно пренебрегать. Следовательно, в двух первых порядках Z^+1 = mZA+S)m-mZft, т.е. Qk = m + 2)т-т, и т. д. Важно то, что уравнений (26) вполне достаточно для итерационного построения всех Q#. Остается заметить, что процесс итераций совершенно одинаков для всех k, так что получающийся оператор в действительности от k не зависит, откуда и следует (24).
Если просто подставить операторы Z^ в виде (24) в уравнения (26), то множитель QfeZ сркратится и вся система (26) сведется к единственно-
281
му уравнению (25) для Q. Тем самым мы докажем, что Q^ = Q для всех k является решением системы (2о\ Но в действительности это не упрощение, так как все равно мы сначала обязаны проверить, что система (26) определяет все однозначно.
Доказав соотношения (24), мы доказали и первое из равенств^(І), поскольку при подстановке (24? в (22) получается ряд экспоненты. Для получения остальных формул (1) воспользуемся известной эрмитовостью всех
операторов Zk в (22) и представлением (24). Отсюда Zk = QkZ = Z (Q+)^ =
= Z^", что доказывает равенство (2», а с ним и прочие формулы (1).
