Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Отметим, что из равенства IdU (О, — T) PjdT = (H — E0) U (О, —T)P и представления (3) вытекают соотношения
QQ = (H-?0)Q, Q = PVQ. (6)
Второе равенство следует из первого при учете соотношений PQ = P и P (H — ?0) = PV.
Воспользовавшись асимптотическими представлениями (1) и (3), можно выразить секулярный и волновой операторы через оператор развития:
dUPP(T)
Q = lim /-jf-Uj^ (7); Q= Hm U(O, — T) Upp (T). (7)
Для -невырожденного уровня подпространство X0 одномерно и все операторы в нем являются обычными числами. Число Q = Q+ = AE есть сдвиг энергии уровня, соотношение (1) после логарифмирования дает (1.74). Формулу (1.74) можно существенно уточнить: из (1) видно, что для невырожденного уровня в асимптотическом представлении логарифма ожидания оператора развития главный член имеет порядок T с коэффициентом —t'A?, следующий член имеет порядок Т° = 1 с коэффициентом In Z. Поправки к этим двум членам являются уже экспоненциально малыми, т. е. члены порядка T-1, T-2, и т. д., появления которых можно было ожидать, на самом деле отсутствуют.
Из формул (3) для случая невырожденного уровня получим (1.71): если Ф — нормированное невозмущенное собственное состояние, то Y = — QZO — нормированное точное собственное состояние, поскольку из унитарности оператора развития следует, очевидно, изометричность QZ.
Переходим теперь непосредственно к доказательству формул (1)—(3). Исходной точкой является обычное представление (1.55) оператора развития:
U (X1, т2) = (~i)n ... j dtx ... dtnb {tx... tn) V (tx) ... V (tn). (8)
277
Общий член этого ряда можно изобразить графически цепочкой сопоставив каждой из точек операторный множитель — /V (tk), а направлен* ной линии UJ?. —функцию b(tl — t2). По каждому времени/^ произ»
водится интегрирование от т2 до T1.
Поставив между всеми операторами взаимодействия в (8) множитель 1 ==: р + P', представим ряд (8) прогрессией
с операторными олоками
7^2=-^(),2)=^^..*^!..... (10)
Линии 0 в (9) содержат множителем проектор Р, а линии в (10)—проектор P'. Каждый из блоков M есть функция двух аргументов, являющихся временами крайних точек цепочек (10). По временам остальных точек в (10) производится интегрирование (в конечных пределах, так как все 'они заключены между временами крайних точек). Аналитически ряд (10) записывается следующим образом:
со
— ш (/, Ґ) = У) (— t)n J ... J (Hx ...
/1=1
... dttfi(t-Z1)M''- 'л)оCi ••• '*)Vft)P'V(*а)... P'V(4). (її)
Из определения видно, что оператор Mf/, V) — запаздывающий, т. е. отличен от нуля лишь при t>V.
В общем члене ряда (9) с п блоками имеется 2п временных аргументов— по два на каждый из блоков. По всем этим аргументам производится интеї рирование от T2 до Tj.
Нас интересуют проекции PUP, P'UP и PUP', которые мы обозначим для краткости Vpp, \Jprp и Upp,. Из (9) видно, что
Upp^pQp + p[H> + ..., > (12)
up'pA ?0p*p,Q*43p* .••^'0-^*1" (із)
и аналогично для \Jpp,.
Рассмотрим сначала оператор M (/, /'). Заменив каждый из операторов V(Z) в (11) на ехр (/H0O V ехр (—/H0/) и заметив, что появляющиеся между соседними операторами Y экспоненты зависят лишь от разностей времен» заключаем, что
M (/, Ґ) = ехр (/H0/) G (/ — /') ехр (— M0V), (14)
278
где G — запаздывающий оператор, являющийся функцией разности t — Ї Перейдя к энергетическому представлению
g (т) = і \ de % (?) ехр (- lez)> (15>
нетрудно вычислить исходя из определений (11), (14), (15) оператор g:
g(?) = V + V?_^+.0V + V,?_^+.Q'V?_HPo'+.0 V + ... . (16)
Бесконечно малые мнимые добавки + ДО в знаменателях присутствуют и в верегуляризованной теории. Они появляются из стандартного спектрального лредстайления 6-функции и отражают свойство запаздывания G. Введение регуляризации приводит к замене H0-^H0—ієР' в (16), что равносильно замене iQ-*ie. Это показывает, что мы имеем дело с естественной регуляризацией запаздывающей функции: контур интегрирования по ? в (15) с верхнего берега вещественной оси смещается в комплексную плоскость.
Замена Ю->іе в знаменателях (16) эквивалентна замене E-^E—Ie в показателе экспоненты в (15), т. е. при регуляризации
G (х) -* G? (х) = G (х) ехр (— єх). (17)
Следовательно, регуляризованный оператор G(T) убывает экспоненциально «быстро при т -> оо, так что интеграл от G по т хорошо сходится (напомним, ¦что G = O при т < 0).
Посмотрим теперь, как отражается регуляризация на различных проекциях оператора (14). Согласно (17), оператор G(t-t') получает при регуляризации режущий множитель ехр є (Ґ — t)\ операторные экспоненты в (14) получают при регуляризации добавочные множители лишь тогда, когда они умножаются на проектор P'. Отсюда ясно, что проекция Мрр (t, Ґ) получает такой же множитель от регуляризации, как G(t-t'), проекция Mp'р (t, tf) получает в совокупности множитель ехр sf, а проекция
Мрр, (t, V) — множитель ехр (—є/). Таким образом, множитель от регуляризации в проекции Мрр всегда является режущим, в проекции Mp,р он будет режущим лишь при V < 0, а в Мрр, — при ?>0. Именно поэтому проекцию Upp оператора развития, выражающуюся, как видно из (9), только^ через Мрр, можно рассматривать на любом интервале времени, тогда как проекции Up^p и \JPP, следует рассматривать соответственно на отрицательной и положительной полуосях времени (что и поясняет формулы (О- (3)).
