Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Васильев А.Н. -> "Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике" -> 113

Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.

Васильев А.Н. Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике — Ленинград, 1976. — 295 c.
Скачать (прямая ссылка): funkcionalmetodi1976.djvu
Предыдущая << 1 .. 107 108 109 110 111 112 < 113 > 114 115 116 117 118 119 .. 121 >> Следующая

Следует также отметить, что окончательным продуктом адиабатической теории для вырожденного уровня являются формулы для секулярного и волнового операторов, которые строятся через оператор развития [82, 83],
18* 275
но в теории нет явных асимптотических представлений для самого оператора развития. При использовании естественного обрезания такие формулы получить можно. Это было сделано в работах [84, 85], которым мы и будем следовать с небольшими изменениями. Для случая невырожденного уровня асимптотические формулы в теории с естественным обрезанием известны давно, но получались они обычно исходя из адиабатических формул Гелл-Манна — Лоу (см., например, приложение к статье Хаббарда в [86]).
Приступим теперь к самому выводу. Пусть H = Но+V — полный гамильтониан, действующий в некотором гильбертовом пространстве X, P — проектор на собственное подпространство свободного гамильтониана H0, соответствующее некоторому изолированному дискретному уровню энергии Eq9 X0 = PX — невозмущенное собственное подпространство H0, P' = 1 — P — проектор на ортогональное дополнение к X0. Для невырожденного уровня подпространство X0 одномерно.
Для придания строгости получаемым формулам мы введем в теорию промежуточную регуляризацию посредством замены H0 H0s = H0—isP', е>0.
Эта замена не вносит в гамильтониан явной зависимости от времени и поэтому не мешает использовать представление оператора развития в виде обычного произведения экспонент (1.55). Все величины в окончательных выражениях, к которым мы придем, оказываются регулярными по е в окрестности є = 0, так что в них можно просто положить е = 0. Эту регуляризацию не следует путать с обрезанием интегралов по времени, которое у пас будет обеспечиваться просто конечностью времени развития. \
Пусть U (xlf T2) — оператор развития в представлении взаимодействия (1.55). Вследствие трансляционной инвариантности по времени, которая не нарушается введением регуляризации, проекция PU Cx1, х2) P зависит лишь от разности времен FEt1-T2, и мы обозначим ее VPP(T). Будет показано, ЧТО ПрИ 7"—>oo
Uрр (T) ^ ехр [-/Qr] Z = Zexp[-/Q+r]==Z1/2exp [—/Qr] Z1/2. (1)
Это асимптотическое представление, справедливое в каждом порядке теории возмущений с -точностью до экспоненциально малых поправок
~ ехр еГ); Q, Z и Q = 2"112QZ12 — не зависящие от Г и регулярные по є в окрестности ? = 0 операторы в X0, для которых будут построены явно ряды теории возмущений.
При е = 0 операторы ZhQ эрмитовы, a Q — нет, причем
QZ = ZQ+. (2)
Эрмитовость. Q является следствием этого равенства.
Для "половинных 5-матриц" будут получены следующие асимптотические представления, справедливые с той же точностью, что и (1):
UvO, — Г) P ^ ? ехр [-/Qr]Z; PU (Г, 0) ^ Z ехр [-/Q+Г] Q'. (3)
Здесь Q, Q+, Z — те же операторы, что и в (1), Q — оператор из X0 в X1 Q' — оператор из X в X0. Из сравнения (1), (2) и (3) видно, что
PQ = P, 0'P = Р, Q7O = Z-1. (4)
Прежде чем доказывать формулы (1) — (3), выясним физический смысл входящих в них операторов. Напомним, что секулярной операцией или секу-лярной матрицей в широком смысле называют любую линейную операцию в собственном подпространстве X0, собственными значениями которой являются искомые сдвиги энергии уровней. В узком смысле секулярной операцией называют [83] ту из них, для которой собственными векторами являются проекции точных волновых функций в подпространство X0. Волновым называют оператор из Xo в X, переводящий проекции точных волновых функций PW01 в сами эти функции.
276
Допустим, что соотношения (1)—(3) справедливы, и докажем, что тогда SJ — волновой оператор, a Q — секулярный в узком смысле.
Пусть Ф — произвольный вектор из X0, Фа — набор собственных функций оператора Q+ в X0, «оа — соответствующие собственные значения. Разложим Ф по базису Фа : Ф = ^ саФа; воспользовавшись первым из представлений (3) и равенством (2), для вектора U (0, — T) Ф ~ 47(7) получим
W (T) = 2 саи!Фа ехр (- ЫаТ). (5)
а
Это асимптотическое (при T -> оо) представление, справедливое с точностью до экспоненциально малых в каждом порядке теории возмущений поправок (регуляризация подразумевается). С другой стороны, согласно первому из равенств (1.55) U (0, — T) = ехр (— iHT) ехр (Hi0T) и U (0, — T) P = ехр / (E0 — H) Г-P в силу равенства H0P = S0P. Отсюда ясно, что всякий вектор ? (T)== U (0, — T) Ф, Ф ? Хй удовлетворяет уравнению Шредингера ід\"ІдТ~ (H — E0) ?. Подставив сюда W(T) в форме (5) и учитывая произвольность са, заключаем, что (H — E0) ії?Фа = %<22Фа Для любого а. Это
доказывает, что ч7а = !^Фа—собственные векторы полного гамильтониана Н,
т. е. точные волновые функции, а соа — искомые сдвиги энергии. Последнее
означает, что Q+— секулярный оператор.
Из приведенного в (4) равенства PQ = P следует, что векторы ЪФа суть
проекции в X0 точных волновых функций Ч?а: ЪФ% = Р^ЪФ^ = P1F0,. Следовательно, Q — волновой оператор. И наконец, из определения Фа как собственных векторов Q+ и равенства (2) находим, что проекции 1Фа — собственные векторы Q : (^Фа = ZQ+Фя = <*>агФа. Следовательно, Q — секулярный в узком смысле оператор, что и требовалось доказать.
Предыдущая << 1 .. 107 108 109 110 111 112 < 113 > 114 115 116 117 118 119 .. 121 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed