Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
6. Уравнения стационарности и приближение самосогласованного поля. Зная графики преобразований Лежандра Г и f, мы можем выразить через переменные этих функционалов все корреляционные функции, которые являются (см. определения в пп. V.2.1 и V.3.1) кратными производными логарифма статсуммы №(ф, А) по переменной ф. Для этого достаточно^ записать повышающий оператор ?0 = 6/бф (являющийся аналогом операторов (34), (56)) в нужных переменных. Для первого преобразования это очень просто сделать с • помощью соотношений
(131) : iZ5 = 8а/8ср• 8/8а = W99-bjba= — Г~!.8/8а. Для второго преобразования (162) после довольно длинных, но несложных выкладок получим
Все величины были определены в предыдущем разделе, произ-
S
271
ведение выражения в квадратных скобках на выражение в фигурных скобках нужно понимать как свертку.
Действуя повышающим оператором 2D на первую корреляционную функцию = а, мы выразим все старшие корреляционные функции через переменные соответствующего преобразования Лежандра — а, А для Г и а, со для Напомним, что со связана со второй корреляционной функцией Wm соотношением (164).
В соответствии с общими правилами п. 2.1 равновесные значения одетых переменных (а для Г и а, со для ?Г) находятся по заданным значениям затравочных переменных ф, А путем решения уравнений стационарности. Ниже мы будем рассматривать только первое преобразование, для которого уравнение стационарности имеет вид Га = —ф.
Начнем с модели Изинга, в которой ф = ?/i— приведенное внешнее поле, а сопряженная переменная а — намагниченность. Допустим, что в Г удерживается лишь вклад нулевого приближения (150) и самого первого из графиков (138). Уравнение стационарности в таком приближении принимает вид —Ф = Fa + Aa = —arth a + Aa, что с точностью до обозначений совпадает с известным уравнением Вейсса для намагниченности [41]. На языке обычных диаграмм логарифма статсуммы его получают, строя самосогласованное уравнение для намагниченности путем суммирования всех графиков типа деревьев [41], а на языке функционального интеграла (V.49) оно соответствует приближению стационарной фазы. Учет в Г второго графика (138) —простой петли — на языке обычных диаграмм W дает решение следующей задачи: найти поправку к приближению Вейсса, учитывающую помимо простых деревьев все деревья со вставками в любом количестве указанной петли (в общем случае — со вставками всех тех диаграмм, которые удерживаются в Г). На языке обычных графиков подобная задача решалась в работе [80].
Отметим также, что известное приближение Орнштейна — Цернике для корреляционной функции 1^фф (формула (2.77) в [41]) получается из того же приближения для Г, что и уравнение Вейсса. Действительно, как было показано в начале раздела, W(m = —IYa1. Если в Г удержать лишь вклад нулевого приближения if график первого порядка, получим
-Г7
Ot Ot -
где линии соответствует А, а точкам — „подавляющий флуктуации" множитель 1—а2. Для однородной системы прогрессия легко суммируется после перехода к импульсному представлению и ответ с точностью до обозначений совпадает с выражением (2.77) из [41].
I mm
Всякий, кто сравнит эти выкладки с соответствующими диаграммными построениями в [41] или в [80], может судить о том, насколько упрощаются все доказательства при использовании преобразования Лежандра. В сущности все трудные комбинаторные задачи решаются тогда, когда определяется структура графиков Г, а после того, как это сделано, обычные приближения и поправки к ним получаются элементарно. Но нужно сказать, что ни в каком конечном порядке для Г мы не получим правильного критического поведения, так как выражение (156) в конечном порядке аналитично по а, ? и поэтому приведет к тем же значениям критических индексов, что и классическая теория фазовых переходов Ландау. Учет конечного числа графиков Г на языке обычной теории возмущений соответствует суммированию бесконечных классов диаграмм, а для получения правильного критического поведения нужно, видимо, суммировать не классы, а вообще все диаграммы (об этом говорит и гипотеза подобия). Аппарата, позволяющего это сделать (пусть приближенно, но с гарантией правильности качественных выводов), пока не существует. Техника преобразований Лежандра позволяет находить аномальное решение лишь в некотором простейшем приближении, справедливом вдали от критической точки, и затем, учитывая все больше графиков Г, последовательно улучшать это приближение, что позволяет все ближе подходить к критической точке. Но поведение решения в самой критической точке нельзя, по-видимому, определить без суммирования бесконечного числа графиков Г.
Переходим теперь к классическому газу. Ka^ уже говорилось в п. 2, для пространственно-однородной системы в нулевом внешнем поле а — плотность, а = ехр ф — активность, а удельное значение y=T/V представляется рядом (см. (141), (148))
Т(Я| ?) = а__ a 111^ + 2^?, (178)
общий член которого есть сумма вкладов всех звездных графиков с п вершинами. Приближение самосогласованного поля, т. е. уравнение Ван-дер-Ваальса для давления [7, 8], получается здесь гораздо сложнее, чем во всех остальных случаях и не сводится к отбору первых графиков преобразования Лежандра. Это еще раз подтверждает, что в некоторых отношениях статистика классического неидеального газа сложнее квантовой теории поля.
