Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
/(0 = --—:е 2 о! . о- У 2 л
Г. НЕРАВЕНСТВО ЧЕБЫШЕВА
Практическое значение квадратичного отклонения <х заключается в том, что отклонения случайной величины х от ее среднего значения х, намного превышающие квадратичное отклонение <х, являются маловероятными. Точный смысл этого утверждения формулируется с помощью неравенства Чебышева:
Если g — произвольное положительное действительное число, то вероятность события \х — х\> да- меньше, чем д~"-.
Доказательство весьма просто и основано на определении математического ожидания величины (х—х)2
сг~ = Q(x — а?)2.
Для вычисления Q(x — а?)2, согласно определению (1), нужно возможные значения случайной величины
у = (х — ж)2
умножить на соответствующие вероятности и произведения сложить. Возможные значения распадаются на дне группы. К пер-
28
Г л. I. Общие основы
Boii группе принадлежат значения д-сг2 и ко второй — значения > g-v'1. В соответствии с этим сумма произведении разобьется на две частичные суммы, первая из которых неотрицательна, так как неотрицательны все ее слагаемые. Вторая частичная сумма больше произведения д'2сг2 Р, где Р — вероятность ссбьпия (ас— ас)2 > д-сг-. Предполагается, что Р не равно нулю (если Г — 0. то все становится тривиальным). Таким образом, для всей суммы получаем неравенство
сг- > дкг- Р, откуда следует утверждение:
Точно так же проводится доказательство и для случая, когда математическое ожидание определяется интегралом (3). Пусть F(t) — функция распределения случайной величины у. Интеграл
распадается на сумму двух интегралов, из которых первый берется по области t*sg2cr2, а второй — по области t> дго-'2. Первое слагаемое этой суммы неотрицательно, а второе > д-<т2Р. Таким образом, сг2 > д2сг2Р и, следовательно, Р < д~2.
В большинстве случаев вероятность Роказывается значительно меньше, чем д~г. Например, для нормального распределения вероятность события |ас — а\ > Зет равна 0,0027, т. е. она много меньше, чем У9.
Частным случаем неравенства Чебышева для случая сг ='0 является следующее утверждение:
Если квадратичное отклонение равно нулю, то вероятность того, что х будет отличаться от постоянного значения х, также равна нулю.
§ 4. Интегральные представления средних значений и вероятностей
Под прямоугольником в плоскости nOv мы понимаем множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенствам
Любое открытое множество М в плоскости vOv представимо в виде суммы счетного числа таких прямоугольников. А именно если эту плоскость разбить на прямоугольники с помощью вертн-
А. ПРЯМОУГОЛЬНИКИ И ОТКРЫТЫЕ МНОЖЕСТВА
а и < Ъ, с *s. v < d.
? 1. Интегральные представления средних значений и вероятностей 29
кальцых и горизонтальных равноотстоящих прямых и выделить те прямоугольники, которые целиком принадлежат множеству М, затем каждый из оставшихся прямоугольников такими же прямыми разбить на четыре равных прямоугольника и снова выделить прямоугольники, целиком принадлежащие М и т. д., то каждая точка множества М в конце концов окажется в каком-либо из прямоугольников Rt, т. е.
М = R1-\- Ег
Пели ж и у случайные величины, то a=^x<bi\c=sy<d события, следовательно, одновременное выполнение этих неравенств также является событием. Наступление этого события происходит тогда и только тогда, когда точка X с координатами ж, у принадлежит прямоугольнику R (а =« и < Ъ, с =s v < d). Это справедливо для любого прямоугольника, поэтому принадлежность X множеству М = R1 + Д, — . . . также является событием. При этом предполагается, что множество событий расширено таким образом, что бесконечная сумма событий Лг -f А„ + . . . также есть событие (§ 1Ж).
Если принадлежность точки X множеству М в плоскости uOv является событием и поэтому имеет вероятность, то множество М называется измеримым, а вероятность события, соответствующего множеству М, называется мерой этого множества. В силу аксиом теории вероятностей эта мера обладает обычными свойствами вполне аддитивных мер.
Согласно вышесказанному, каждое открытое множество измеримо. Отсюда следует, что любое замкнутое множество также измеримо, так как его дополнение открыто.
Пусть ж и у — случайные величины и пусть g(u. v) — непрерывная функция действительных переменных и п v. Тогда д(х,у) снова является случайной величиной. Для доказательства этого нужно лишь показать, что при любом действительном t
9{х, у) < t
непременно является событием. После всего сказанного выше это очевидно, так как, в силу непрерывности функции д, множество тех точек (и, v), для которых справедливо неравенство д(и, v) < t, является открытым множеством. Легко доказать, что то же самое остается в силе, если функция д(и, v) кусочнонепрерывна; функция д(и, v) называется кусочно-непрерывной, если плоскость Е можно разбить на сумму конечного числа измеримых множеств Мj + . . . + Мп, на каждом из которых д(и, v) непрерывна. Впрочем, далее будут употребляться лишь простейшие случаи этой теоремы, в которых функция д(и, v) или кусочно постоянна, или на каком-либо множестве Мл непрерывна, а на дополнении Е — М1 равна нулю.
