Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Варден Б.Л. -> "Математическая статистика" -> 86

Математическая статистика - Варден Б.Л.

Варден Б.Л. Математическая статистика — М.: Ил, 1960. — 435 c.
Скачать (прямая ссылка): matematstatistika1960.pdf
Предыдущая << 1 .. 80 81 82 83 84 85 < 86 > 87 88 89 90 91 92 .. 178 >> Следующая


Простейшее из известных мне доказательств опирается на довольно слабые предположения регулярности; это доказательство принадлежит Вальду и Вольфовицу. Здссь мы это доказательство воспроизводить не будем, а отошлем читателя к оригинальной ряботе: A. Wald and J. Wolfowitz, Annals of Mathematical Statistics, 20 (1949), 595, 601.

Если при л —> оо вместе с увеличением п количество неизвестных параметров также возрастает, то теорема о состоятельности сценок наибольшего правдоподобия может и не быть справедливой. Пример этого нам уже встречался в § 35.

в. асимптотическая нормальность, асимптотическое

СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ И АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ДИСПЕРСИЯ

Состоятельность опенки наибольшего правдоподобия д ранее была доказана Хотеллингсм1 и Дубсм2 при более сильных ограничениях. Однако эти авторы, помимо состоятельности, доказали, что оценка ь распределена асимптотически нормально со средним

1 IIotelling II., Trans. Amer. Math. Soc., 32 (1930), 847.

2 D о о b J. L., Trans. Amer. Math. Soc., 36, 76C ; 3t)3 410.
222

Гл. VIII. Оценки неизвестных параметров

значением х> и квадратичным отклонением c/fra. Это означает, что функция распределения случайной величины

при га —» сю стремится к функции нормального распределения с нулевым средним значением и квадратичным отклонением с. При этом с определяется равенством

В § 36 правую часть последнего равенства мы обозначили через j(3). Если это выражение умножим на п, то получим введенную ранее «информацию» I — 1(х>)\

Следовательно, дисперсия асимптотического нормального распределения равна обратной величине информации:

При определении понятий «асимптотическое среднее значение» и «асимптотическая дисперсия» нужно соблюдать большую осторожность, так как вполне может случиться, что при каждом га точное распределение оценки й обладает бесконечной дисперсией. И тем не менее 5 будет распределена асимптотически нормально с конечным средним значением 5 и конечной дисперсией с2/те. По этой причине нельзя сначала вычислять дисперсию и затем производить предельный переход при га —> оо, а нужно сперва найти распределение случайной величины U, затем произвести предельный переход при га —> сю и, наконец, вычислить дисперсию. В дальнейшем выражения «асимптотическое среднее значение» и «асимптотическая дисперсия» всегда следует понимать именно в этом смысле.

Пусть Т — оценка параметра х>. Если асимптотическое среднее значение разности Т—0 (смысл этого понятия указан выше) мало сравнительно с l/fra, то оценка Т называется асимптотически несмещенной; при этом асимптотическое распределение случайной величины

U = (5 _ С) fra

(2)

(3)

(4)

и = (Т — 0) к га

(б)

имеет нулевое среднее значение. Согласно упомянутым выше теоремам Хотеллинга и Дуба, оценка наибольшего правдоподобия € является асимптотически несмещенной.
§ 45. Асимптотические свойства

223

В. ЭФФЕКТИВНОСТЬ

Р. А. Фишер предполагал, что оценка й асимптотически эффективна в том смысле, что она среди всех асимптотически несмещенных оценок обладает наименьшей асимптотической дисперсией. Однако более поздние исследования1 показали, что это предположение соответствует действительности лишь тогда, когда множество допустимых оценок ограничено сильными условиями регулярности. Если же с оценкой наибольшего правдоподобия могут конкурировать произвольные асимптотически несмещенные оценки, то среди них можно найти так называемые «сверхэффектив-ные» оценки, которые при некоторых значениях параметра имеют меньшую асимптотическую дисперсию, чем оценка наибольшего правдоподобия. Пример такой «сверхэффективной» оценки был указан Д. Л. Ходжесом. Пусть f(x \ И) — нормальная плотность вероятностей со средним значением д и единичной дисперсией:

Требуется найти оценку для И по выборке, состоящей из п независимых наблюдений хг,. . ., хп. В качестве такой оценки можно принять выборочное среднее значение х. Оценка х является несмещенной, и ее дисперсия в данном случае равна 1/я. Рассмотрим теперь другую оценку Т:

и докажем, что

1. Т — асимптотически нормальна при любом И.

2. Т — асимптотически несмещенная оценка при любом д.

3. Асимптотическая дисперсия Т равна Х/п, если б =? О, и равна l/4w, если ? = 0.

Доказательство. Если ИфО, то при больших п вероятность события | х | < 7i-1/4 исчезающе мала, следовательно, практически всегда выполняется равенство Т = х, и поэтому асимптотическое распределение Т совпадает с распределением х. Напротив, если И = 0, то вероятность события | х \ *=¦ п~1/4 будет исчезающе малой, и поэтому асимптотическое распределение Т должно совпадать с распределением случайной величины х/2.

Более обстоятельное изложение затронутых здесь вопросов можно найти в цитированной работе Ле Кама.
Предыдущая << 1 .. 80 81 82 83 84 85 < 86 > 87 88 89 90 91 92 .. 178 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed