Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
С помощью этого условного математического ожидания можно, как в § 42 А, для любой оценки и параметра д вывести улучшенную оценку V, которая будет иметь то же смещение, что им, а дисперсия v не будет превосходить дисперсии м. Так как, кроме того, v должна зависеть лишь от уг и г, то оценку для д мы сразу будем искать в виде функции от этих аргументов.
Такой функцией является
s2 _ _Ж (Х — Х)г _ _ 2 У'—У1 _ г2 /04
п — 1 п—1 п — 1 п—1 ‘ *
Мы знаем, что в2 является несмещенной оценкой для сг2 = д. Если бы имелась какая-либо другая несмещенная оценка, зависящая лишь от ух и т, то интегральное уравнение
. — ¦}, [(у — и\'п )2 + г’] п—2
D(y, т) е 2l г dr dy = 0 (7)
имело бы ненулевое решение.
Полагая в (7)
оо
D(y,r)e 2°т rn Zdr = F(y\d), (8)
о
получим
ЕV I чч -^(У!-2УИп + /‘’п)
F(у \ д) е 2l dy = 0
или, если обозначить а = jx fn/d и постоянный множитель охр {— /л2 п/2д} вынести за знак интеграла,
оо
J F(y | е) е я>у еау dy = 0. (9)
Последнее равенство должно быть справедливо при любых
а. и д > 0. Левая часть (9) является аналитической функцией а,
220
Гл. V1IJ. Оценки неизвестных параметров
которая определена1 при всех комплексных а. Если эта функция даже на некотором маленьком отрезке действительней оси равна нулю, то она равна нулю тождественно при всех а. Поэтому заменим в (9) а на it и рассмотрим полученный интеграл, который можно истолковать как преобразование Фурье для функции F(y | ь) ехр {— у1!2?}. В силу (9), это преобразование равно нулю при всех t, следовательно, преобразуемая функция также равна нулю, т. е.
F(y\x)) = 0. (10)
Если (10) подставим в (8), то получим интегральное уравнение для D(y, г):
J В(у, г) е
rn ~ dr = 0. (11)
о
Выбрав г'1 в качестве новой переменной интегрирования* убеждаемся, что интегральное уравнение (11) имеет точно такой же вид, как и (8) § 43. Поэтому, как и тогда,
Щу, г) = 0.
Только что приведенное доказательство справедливо в классе функций 1)(у,г), удовлетворяющих некоторым слабым условиям регулярности. Например, достаточно предположить, что интегралы (7) и (8) абсолютно сходятся для всех р. и А из конечной области М:
а < [м < Ъ,
0 < € < с,
и что на каждом замкнутом подмножестве множества М интегралы
(7) и (8) сходятся равномерно.
Точно тот же метод доказательства можно применить и к случаю, когда имеется несколько групп хи . . ., хт\ у1з . . ., уп\ . . . независимых нормально распределенных случайных величин с одинаковыми дисперсиями д, но, может быть, разными средними значениями: /м — для первой группы, v — для второй группы и т. д. Результат тот же самый:
"(га —1) + (я — 1) + . .. является несмещенной, наилучшей оценкой для д.
1 Доказательство. Сначала в (9) заменим пределы интегрирования — оо н -)- ос на — М и -f М таким образом, чтобы для всех а, принадлежащих произвольному кругу |а| < 1{, соответствующий интеграл отличался от (9) менее чем на е. Затем е"У разложим в степенной ряд и проинтегрируем его почленно. Таким образом, мы получим разложение интеграла от —М до -\-М в степенной ряд по степеням а. Теперь М можно устремить к бесконечности: предел равномерно сходящейся последовательности регулярных функций является регулярной функцией в круге |а| < Е.
§ 45. Асимптотические свойства 221
Если, в частности, каждая группа состоит лишь из двух случайных величин, то (12) превращается в формулу (10) § 35. Следовательно, пример 23 может служить иллюстрацией практического применения формулы (12).
§ 45. Асимптотические свойства
Все теоремы, с которыми мы до сих пор имели дело, были справедливы как для малых выборок, так и для больших, что особенно важно для приложений. Теперь, в заключение, мы хотим совсем кратко и без доказательств изложить важнейшие асимптотические свойства оценок в случае больших выборок.
А. СОСТОЯТЕЛЬНОСТЬ ОЦЕНОК НАИБОЛЬШЕГО ПРАВДОПОДОБИЯ
Вернемся к случаю одного параметра д. Пусть хъ. . ., хп — независимые одинаково распределенные случайные величины с плотностью вероятности f(x | ?). Плотность их совместного распределения задается формулой
д{х \ 6) = f{xL | 6)f(x2 | С). . . f(xn | 0). (1)
Оценка T параметра S называется состоятельной, если при п —> оо вероятность события | Т — v I < е стремится к единице. При некоторых предположениях о регулярности функции f{x \ Ь) можно показать, что метод наибольшего правдоподобия приводит к состоятельной сценке параметра д.
