Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
P{(gj = 2) п (х2 + • • ¦ + xr = t — 2)} Pf^ + ... + xr = г}
;? 43. Приложения 217
Все вероятности в числителях и в знаменателе содержат одинаковый
множитель р1 дгп сокращая который, получим
(т — п\ (п \ jrn — In \ trn
t )+(i l+Ub
МЧ /) =----------:-------
n I
— 2 I
rn I t
Следовательно, улучшенная оценка для S имеет вид
Н';ПГЛ'-(:)(
гп — п\ fn \ fr-n — п
т — 1 I+ 12 г — 2
Для того чтобы показать, что V является нанлучшей несмещенной оценкой, нам нужно еще убедиться в единственности несмещенной оценки для S, зависящей лишь от Т. Иначе говоря, мы должны проверить, будет ли уравнение
к>
иметь единственное решение F(t) = F(0. Если F и F, — два решения этого уравнения, то их разность D(t) должна удовлетворять однородному уравнению
VI In* ппг-t = о.
> |^”Г| V1 Я
Но многочлен от р на отрезке 0 р =s 1 обращается тождественно в нуль тогда и только тогда, когда все его коэффициенты равны нулю. Следовательно, D = 0 — единственное решение однородного уравнения1.
1 В данном примере рассматривалась задача оценки потерь поставщика. Потребителю более важно знать другую величину, а именно, количество дефектных изделий, оставшихся в принятом ящике после контроля. Так как вероятность того, что выбранное наугад изделие окажется дефектным, равна р, то принятые дефектные изделия снова подчиняются биномиальному распределению. Следовательно, если контроль изделий сопряжен с их уничтожением, то изложенная процедура приемочного контроля не ведет к улучшению качества принятой продукции. Такая процедура целесообразна лишь в том случае, если для различных ящиков вероятности р различны и потребитель хочет гарантировать себя от приема ящиков с P>Vо! г-'’-е Ра — некоторый заранее установленный предел для доли брака,
О статистическом контроле качества продукции см. Д у н и н - Б а р-к о в с к н й И. В. и Смирнов Н. В., Теория вероятностей и математическая статистика в техн ике (общая часть), ГИТТЛ, М.. 1955, гл. VDI, § 4—5; Колмогоров А. Н., Несмещенные оценки, Изв. АН СССР, серия математич., 14 (1950), 303; Колмогоров А. Н., Статистический приемочный* контроль при допустимом числе дефектных изделий, равном нулю, Изд. Ленингр. Общества научно-техн. пропаганды (1951); Сира ж-.1 II н о в С. X., Одинарный статистический приемочный контроль, Труды ин-та .Математики и механики, АП Узб. ССР, 15 (1955), 41. — Прим. перев,
218
Гл. VIII. Оценки неизвестных параметров
§ 44. Оценка дисперсии нормального распределения
Рао, а также Леманн и Шеффе свою теорию наилучших оценок распространили на случай нескольких неизвестных параметров. Мы здесь не будем касаться этой общей теории, а ограничимся лишь одним примером, который особенно важен для приложений.
Пусть хг, . . . , хп — независимые и одинаково нормально распределенные случайные величины с неизвестным средним значением /х и неизвестной дисперсией й. Следовательно, совместная плотность вероятности имеет вид
—? -у,Г(*-й-д{х1г . . . , хп I /х, й) = с й е ~ =
— ? - -А(? х! — 2fiL х + п/**)
= ей 2 е 2* . (1)
Из формулы (1) непосредственно следует, что 2х и ?х2 — достаточные статистики для /х и й. Как мы уже знаем, наилучшей оценкой для /х является
x = l~Zx- (2)
Постараемся найти наилучшую оценку для й. При всех /х и й эта оценка должна быть несмещенной.
Сначала ортогональным преобразованием введем новые координаты Уу, , уп> где
у1=х)[п= * (хг + . . . + хп). (3)
\П
В силу ортогональности преобразования,
2 z2 = 2 у'2>
поэтому
^ х2 — 2/х ? х + га /х2 = У у'2 — 2/х уг fra + га /х2 =
= (У1 — Р- f”)2 + Уг -I- • ¦ • + З^-
Таким образом,совместная плотность вероятности для ylt . . . , уп имеет вид
-А [(и. — ^КЯ“)г + HJ + ... + (,.]
КУи ,Уп | /а, й) = с й “ е . (4)
В пространстве переменных уг,. . . , уп введем полярные координаты г,(р1>ш.., <рл_2. Соответствующая плотность вероятности
будет иметь вид
Р(Уъ r,<Pi> ¦ ¦ -.Vn-ilp.ti) =
§ 44. Оценка дисперсии нормального распределения
219
Вместо 2 Х<1 и 2 х в формуле (5) имеются величины г и ух, которые, конечно, также являются достаточными статистиками для /л и д.
Как и в § 40, мы можем теперь для любой случайной величины и определить условное математическое ожидание g(w | ух, т). Общая теория Колмогорова для этого даже и не потребуется: условное математическое ожидание можно определить посредством интегрирования по угловым координатам q>lt . . ., <р„_2.
