Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
i
Т = пд~п Г tn dt = —^—д. (12)
J п + 1
о
Поэтому
п + 1
F =——Т (13)
п
является несмещенной оценкой для 6. Дисперсия этой оценки равна
-* = -%¦ п(п + 2)
Если бы существовала другая несмещенная и зависящая лишь от Т оценка параметра ?, то существовало бы ненулевое решение D(t) интегрального уравнения
i
J D(t) п й~п tn~i dt = 0 (14)
о
или
J D(t) tn-1 dt = 0. (15)
о
Но если (15) справедливо для всех 6, то должно выполняться равенство D(t) = 0. Следовательно, (13) является наилучшей оценкой.
Оценка наибольшего правдоподобия1 6 = Т при больших п незначительно отличается от F.
Следующий пример был мне любезно предоставлен Е. Л. Ле-манном. Этот пример особенно интересен тем, что в нем непосредственно используется метод улучшения несмещенной оценки, изложенный в § 42 А.
Пример 31. Поставщик поставляет некоторую продукцию, упакованную в ящики. Потребитель из каждого ящика берет случайную выборку, состоящую из п изделий, и проверяет качество каждого изделия. Если в выборке окажется три или больше дефектных изделий, то соответствующий
ящик бракуется и возвращается поставщику, который в этом случае несет
определенную потерю. Количества дефектных изделий, обнаруженных в каждом из ящиков, обязательно сообщаются поставщику. Так как все изделия изготавливаются в одинаковых условиях, то предполагается, что любое изделие может оказаться дефектным с постоянной вероятностью р. Пусть т — число ящиков, полученных потребителем, и пусть xlt . . ., хг — обнаруженные количества дефектных изделий в выборках объема п из
1 В данном случае функция правдоподобия дается формулой | 3~п, если 3 э= Т,
(0 — в противном случае.
Для отыскания максимума р(х|0) достаточно ограничиться лишь теми О, которые удовлетворяют неравенству Так как при справедливо
неравенство д~п=^Т~п, то ff(x|0) =е Т~п = ^(а^|^Г). Следовательно, Т — оценка наибольшего правдоподобия. — Прим. перев.
210
Гл. V111. Оценки неизвестных параметров
ящиков с номерами 1, . . г соответственно. Само собой разумеется, что несмещенной, наилучшей оценкой для р в данном случае будет
Но поставщик желает знать также и несмещенную оценку для математического ожидания своих потерь. Ведь улучшение качества продукции (нанример. посредством более строгой предварительной инспекции) сопряжено с затратой средств, и на эту затрату поставщик пойдет лишь тогда, когда убедится в ее выгодности.
Вероятность того, что данный ящик не будет забракован потребителем, равна
Математическое ожидание потерь поставщика пропорционально 1 — д Следовательно, для отыскания несмещенной оценки потерь достаточнс найти несмещенную оценку для С.
Предположим, что xlt . . ., хг являются независимыми случайными величинами, подчиняющимися биномиальному распределению. Функция правдоподобия в данном случае задается формулой
Из этой формулы следует, что Т является достаточной статистикой для р, а значит, и для Таким образом, если несмещенная, наилучшая оценка для С существует, то можно считать, что она зависит лишь от Т. Как найти такую функцию?
Рассмотрим случайную величину
Так как <S ^ —- С, то U — несмещенная оценка для С, хотя и очень плохая. Вычислим теперь условное математическое ожидание U при условии, что Т = t. Первый ящик может быть принят лишь в следующих трех взаимно исключающих друг друга случаях: когда в выборке нет дефектных изделий, когда в выборке одно дефектное изделие и, наконец, когда в выборке два дефектных изделия. Следовательно, условное математическое ожидание U будет равно сумме условных вероятностей указанных выше трех событий, в предположении, что Т =- t. Таким образом,
h = -
*1 + • ¦ ¦ -L Хг
гп
Если положим з-j + . . . + хг = Т, то Р(х) будет иметь вид
U =
1, если первый ящик принят,
0, если первый ящик забракован.
= Р{(д,1 = 0) п (а? + ¦ ¦ • + хг = 0}
Р{а:1 4~ ¦ • • 4~ ХГ — 0
P{(a-i 1) П (х2 ~Ь • ^ + хт — t — 1)} +
Р{а:1 4~ • • ¦ 4~ хг = о
