Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Каждую измеримую функцию можно так аппроксимировать кусочно постоянной функцией, чтобы их интегралы сколь угодно мало отличались друг от друга. Таким образом, формула (11) справедлива для всех тех измеримых функций, для которых левая часть (11) вообще имеет смысл. Если положим f{t) = g0(« | t), то получим
Г g0(u | t) dH(t) = Г g0(u | t) Q(t) dIJ0(t). (12;
м м
Сравнивая (9) и (12), находим, что
J g(w | t) dll(t) = J g0(u ; t) dll(t). (13
M M
Следовательно, в правой части (7) g(« | t) можно заменить hj g0(M | 0 — равенство от этого не нарушится, т. е. при любом 3" можно считать, что условное математическое ожидание g(« 11) равно fi0(M I 0^ чт0 и требовалось доказать.
§ 41. Достаточные статистики
209
Если e(t I й) обращается в нуль при некоторых значениях t, зависящих от й, то доказательство этой теоремы становится несколько более трудным.
Мы предположим, что при всех й функция e(t | €) кусочно 1гепрерывна по переменной I; этого достаточно для всех приложений. Кроме того, предположим, что в точках разрыва e(t | й) =0. Тогда, при каждом й, множество тех точек оси t, где e(t | й) ф 0, является открытым множеством.
Рассмотрим множество В0 тех точек t, в которых e(t | й) = 0 при всех й. В силу (1), ири каждом й вероятность события t е В0 равна нулю. На множестве В0 условное математическое ожидание можно определить, например, равенством | t) = 0; это не повлияет на результат. Остается исследовать условное математическое ожидание на множестве С, которое представляет собой дополнение к множеству В0.
Для каждой точки (, принадлежащей множеству С. найдется хотя бы одно значение й, такое, что e(t | й) ф 0. Тогда существует также некоторая окрестнос ть ВЦ) точки ( и во всех точках этейок-рестности e(t | й) ф 0. Таким образом, множество С покрывается открытыми множествами B(t), поэтому из этих множеств можно выделит!, счетное покрытие1 Вг, В2, . . . множества С. Пусть, например, множеству Вх соответствует значение параметра йх, множеству В2 соответствует й2> • • • и т- Д-> причем если t е Bt, то e(t ] С;) ф 0.
Из множества В2 можно исключить те точки, которые уже принадлежат Ви точно так же из В3 можно исключить все точки, которые принадлежат Вг или В2 и т. д. Видоизмененные таким способом множества Вг, В2, . . . по-прежнему покрывают все множество С.
На основании ранее доказанных результатов при любом й функцию (S(t* | t) можно видоизменить так, чтобы на By она совпадала с функцией соответствующей значению параметра
й = йх. Точно так же при любом й можно ?(м | t) видоизменить так, чтобы эта функция для teB2 совпадала с 6'2(м 11) и т.д. Таким образом, нам удалось определить функцию g(w | I) при любом t, независимо от й. Для всех й и М эта функция удовлетворяет условию (3). Действительно, каждое множество М можно разложить на счетное число подмножеств М0, Мъ М2, . . . , каждое из которых содержится в В0. Bv В2, . . . соответственно, и так как (3) справедливо для каждой части, то (3) справедливо и для всего множества М.
Этим наше утверждение полностью доказано.
1 См. Колмогоров Л. Н. н Ф о м к н С. В.. Элементы теории функций и функционального анализа, Изд. Мос. ун-та (1954), 39. — Прим. перев.
14 Б. Л. ван дер Варден * 10G2
210
Гл. VIII. Оценки неизвестных параметров
§ 42. Применение теории условных математических ожиданий к задаче отыскания наилучших несмещенных оценок
А. УЛУЧШЕНИЕ ОЦЕНОК
Пусть снова х1г.. . , хп — результаты наблюдений, являющиеся случайными величинами с совместней плотностью вероятности д{х | б), зависящей от неизвестного параметра б. И пусть t = Т(х) — достаточная статистика, т. е.
д{х | б) = e{t | б) h{x). (1)
Кроме того, пусть и = U(x) — некоторая оценка параметра б, обладающая конечным математическим ожиданием и и конечной дисперсией сг\. При этом совершенно безразлично, выполняются ли эти предположения лишь для истинного значения параметра б или они выполняются также и в некоторой окрестности истинного значения. Все следующие далее утверждения справедливы для тех значений б, при которых математическое ожидание и дисперсия случайной величины и конечны.
Постараемся тедерь найти улучшенную оценку V, зависящую только от достаточной статистики t:
v = F(t). (2)
С этой целью потребуем, чтобы v принимала такие значения v, которые при каждом фиксированном значении t случайной величины t равны условному математическому ожиданию g(w | t):
* = F(t) = S(u | t). (3)
Колмогоров доказал1, что v — F(t) является случайной величиной. Согласно результатам §41, функция F(t) = g(w | t) не зависит от б, а зависит лишь от t.
Докажем теперь, что математическое ожидание v равно математическому ожиданию и, а дисперсия v не превосходит дисперсии и.
