Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Л(0 = j д(*’ х*> ¦ ¦ ¦ ,xn)dx2. . . dxn. (10)
Если положим
I U(t, хг, ..., хп) g(t, х2,..., хп) dx2... dxn
S(u | t) = ------p------------------------------------, (11)
g(t, xT.. .,xn)dx2. . .dxn
где интегрирование распространяется на все пространство переменных *2, . . .,хп, то сразу убеждаемся, что функция (11) удов-
летворяет условию (9).
Далее, пусть t = Ух\ + . .. + xfr Преобразованием к полярным координатам г, q^, . . . , 9?„_1 этот случай можно свести к предыдущему. Получаем
U(x) д(х) da
&{u I г) = ----------- , (12)
д(х) da
где da— элемент поверхности шара единичного радиуса в «-мерном пространстве и интегрирование в числителе и знаменателе производится по поверхности сферы радиуса г в том же пространстве.
Условное математическое ожидание, коль скоро оно определено для всех точек оси t (с точностью до множества точек t меры нуль), обладает следующими свойствами:
1. g(u — v | t) = 6(а | t) — g(t? | t).
2. Если it равна постоянной с, то g(w | t) = с.
3. Если g(tt | t) равно нулю для всех t, то Q и = 0.
4. Если v = <p(t), то Q(uv | t) = <S(it | t) (p{t).
Первые три свойства непосредственно следуют из определения. Последнее свойство доказано Колмогоровым («Основные понятия . . .»>, стр. 50).
§ 41. Достаточные статистики
Вернемся к задаче отыскания наилучшей оценки неизвестного параметра 0. Мы снова будем предполагать, что совместная плотность распределения результатов наблюдений х,,. . . , хп имеет вид
д(х | С) = e(t | 0) Цх), (1)
§ 41. Достаточные статистики
207
где t является функцией х, не зависящей от А:
t = Т(х). (2)
В прежних обозначениях случайная величина t= Т(х) могла оказаться достаточной оценкой для {). Но так как t совсем не обязана быть оценкой для S, то мы t назовем достаточной статистикой. Мы будем также говорить: статистика t = Т(х) достаточна для г).
Условное математическое ожидание g(w \ t) случайной величины и = U(x), как и в § 40, определяется равенством
J U(x) g(x j i)dx = J' ?(m | t) dH(t), (3)
M' M
где H(t) — функция распределения случайной величины t. Докажем теперь теорему:
Если плотность вероятности д(х | Ъ) представима в виде (1), то функцию 8(и | /) можно определить так, чтобы она не зависела от Ь.
Сначала мы проведем доказательство в предположении, что существует хотя бы одно значение параметра ?0, такое, что e(t |б0) ф Ф 0 для всех t. В этом случае, согласно (1), для произвольного ь имеем
|в)=Шe(t 1 с"> Л(1>=j(x 1 *•>
или, если дробь в правой части обозначить Q(i),
g(x | С) = Q(t) g(x | д0). (4)
Пусть g и 60 — символы математических ожиданий, a H(t) и H0(t) — функции распределения, соответствующие значениям параметра С и С0. Согласно (3), имеем
| U(x) g(x 1i0) dx = j g0{u | 0 dll0(t) (5)
M' м
и
j U(x) g(x I d) dx = J g(w I t) dll(t) (6)
M' м
пли, в силу (4),
J U{x) Q(i) g(x | 0O) dx = J g(и. | t) dH(t). (7)
АГ M
Случайная величина Q(t) принимает значения Q(t). Обозначим эту случайную величину буквой v.
v = Q(t) = Q[T(x)] = V(x).
208 Г л. VIII. Оценки неизвестных параметров
Рассмотрим условное математическое ожидание произведениями = U(x) V(x) и воспользуемся свойством 4 (§40):
?0(ш> | t) = g0(w | t) Q(t),
следовательно, по определению ?0(uv | t),
f U{x) V(x) g{x | 0O) dx = \ g0(u | t) Q(i) dll0(t). (8)
M' -V
Так как Q{t) = V{x), то левые части (7) и (8) совпадают, и поэтому
j g(« | t) dH(t) = J g0(u | t) Q(t) dH0(t). (9)
и M
В частности, при и= 1, согласно (9), получаем
\dH(t)=\Q(t)dII0(t), (10)
м м
где М — произвольнее измеримое множество.
Из (10) следует, что для каждой кусочно постоянной функции f(t) имеет место равенство
\f(t)dH(t)=\f(t)Q(t)dH0(t). (11)
м м
Для доказательства (11) достаточно М разложить на такие подмножества, где функция f(t) постоянна, и к каждому подмножеству применить формулу (10).
