Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
¦Lehmann Е. L. and S с h е f f е Н., Completeness, Similar Regions and Unbiased Estimation I, Sankhva (The Indian Journal of Stat.), 10 (I960), 305.
204 Гл. VIII. Оценки неизвестных параметров
значений щ,. . ., ип случайной величины и можно вычислить условные вероятности1
РЛ. I А _ р(”ьг) _ Р{(“ = «*) п (* = 0} п\
t)- P(t)-- = (О
и затем определить условное математическое ожидание 6(и|?) как сумму произведений ик и соответствующих условных вероятностей:
6(м|0 = 2ukP(uk\t). (2)
Если (2) умножить на P(t) и просуммировать по всем значениям t, принадлежащим некоторому множеству М, то, в силу (1), получим.2
2 & (« I 0 P(t) = 2 Щ P{(w = ик) n (t 6 M)}. (3)
(ем к
Обратно, если равенство (3) справедливо для любого множества М, то (3) справедливо и для таких множеств, которые состоят лишь из одного значения t. Если в этом случае соответствующее равенство разделим на P(t), то снова получим (2).
Предположение о том, что и принимает лишь конечное число значений, не является существенным. Ведь конечную сумму в правой части (2) можно заменить бесконечным рядом или интегралом точно так же, как мы это делали в § 3 при определении обычного математического ожидания! Если F(u \ t) — функция условного распределения случайной величины и (значение этой функции в любой точке и определяется как условная вероятность
события и <и при условии, что t= t), то вместо (2) можно на-
писать
?(и |0 — J и dF(u | t), (4)
а вместо (3) —
2"6(м \t)P(t)= (и ?{dE), (5)
КМ .!
М'
где М' ¦—случайное событие, которое наступает тогда, когда Т(х) 6 М. Правая часть (5) представляет собой интеграл Лебега
1 Символом (и — ик) п (t = 0 обозначено событие, являющееся пересечением событий м -= ик и t = t, см. § 1. Поэтому Р(ик, t) = = Р{(м = ик) о (t = /)} — вероятность однонре:пенного осуществлен ия этих событий. — Прим. перев.
2 Здесь используется символическое обозначение I е М, которое следует читать так: «< принадлежит множеству М». Случайное событие tzM наступает тогда н только тогда, когда случайная величина t принимает значение, принадлежащее множеству М. — Прим. перев.
§ 40. Условные математические ожидания
205
от функции и, определенной на множестве М', по мере Р(4) (см. § 3 А).
Точно так же левую часть (5) можно понимать как интеграл Лебега по множеству М. Если функцию распределения случайной величины t обозначить H(t), то (5) можно будет записать в виде равенства
Г ?(м | 0 dH (0 = Г и Р(dE). (6)
м м>
До сих пор в качестве функции распределения случайной величины t мы рассматривали ступенчатую функцию со строго положительными скачками. Если t имеет непрерывную функцию распределения, то определения (1) и (2) оказываются неприменимыми, так как знаменатель в (1) будет равен нулю. Однако формула (6) всегда сохраняет смысл, и поэтому эту формулу, следуя Колмогорову, можно принять за определение условного математического ожидания g(w | t). С помощью теоремы Никодима Колмогоров («Основные понятия теории вероятностей», V, § 4) доказал, что если gw существует, то всегда найдется такая измеримая функция f(t) = g(и j t), для которой справедливо равенство
(6) при любом измеримом множестве М на оси t. Хотя функция /(0 = &(и \ t) равенством (6) определяется не однозначно, однако два решения f^t) и f2(t) уравнения (6) могут отличаться друг от друга лишь на таком множестве точек оси t, которое имеет меру нуль.
Если xlt. . . ,хп имеют совместную плотность вероятности д(х), то равенство (6) можно записать так:
J 6(м | t) dH(t) = J U(x) g(x) dx. (7)
M XI'
Если t также имеет плотность вероятности h(t), то интеграл Стильтьеса в левой части (7) можно заменить обычным интегралом:
J ?(м | t) h(t) dt = J U(x) g(x) dx. (8)
M M’
Равенство (8) справедливо для любых измеримых множеств М тогда и только тогда, когда оно справедливо для всех интервалов от — оо до Ъ на оси t:
ь
Г ?(м | t) h (t) dt = f V(x) g(x) dx. (9)
T(x)<b
Дифференцированием (9) по верхнему пределу Ъ можно найти значения функции f(t) = g(w | t) в тех точках t, гдef(t) непрерывна и h(t) -ф 0.
206
Гл. VIII. Оценки неизвестных параметров
Покажем теперь, как в некоторых простейших случаях можно вычислить условное математическое ожидание.
Пусть, сначала, t = хг. Плотность вероятности h(t) можно найти интегрированием совместной плотности g(t, х2,. . хп) по х2,. . ., хп\
