Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Варден Б.Л. -> "Математическая статистика" -> 76

Математическая статистика - Варден Б.Л.

Варден Б.Л. Математическая статистика — М.: Ил, 1960. — 435 c.
Скачать (прямая ссылка): matematstatistika1960.pdf
Предыдущая << 1 .. 70 71 72 73 74 75 < 76 > 77 78 79 80 81 82 .. 178 >> Следующая


Отсюда следует, что А' всегда положительно. Далее, из (7)

находим

1 = 6 [L'(x | С)]* = (А’)%{Т - Ту = (АГ °*г, поэтому, согласно (9),

I = А', (10)
200

Гл. VIII. Оценки неизвестных параметров

т. е. информация I равна производной по й от коэффициента А в формуле (4).

Согласно (8), уравнение правдоподобия имеет вид

А'(Т — в) = 0, (11)

и так как А' всегда положительно, то это уравнение имеет единственное решение

Ъ = Т.

В силу (8), L'(x ] 0) положительна при й < Т и отрицательна при г) > Т, поэтому fl = Т — точка максимума функции L. а значит, и функции правдоподобия

д(х | 0) =

Таким образом,

если предположения а), б) и в) справедливы, то оценка, найденная методом наибольшего правдоподобия, является несмещенной и наилучшей.

Если же условие в) не выполняется, то можно положить

&Т = т(С).

В этом случае Т является несмещенной наилучшей оценкой для т(0).

§ 39. Примеры

В некоторых важных случаях все условия 1, 2, 3 (§ 37) и а), б), в) (§ 38) оказываются выполненными. Простейшим случаем является следующий.

Пример 25. Оценка среднего значения в нормальном распределении. Пусть результаты наблюдений а^, . . хп представляют собой независимые, одинаково нормально распределенные случайные величины с неизвестным средним значением /л. При этом не имеет никакого значения, известно квадратичное отклонение <г или нет. Мы предположим для простоты, что <г -- 1. Тогда функция правдоподобия будет иметь вид (см. § 35, пример 22)

-\Е (*-#*)¦

g( x'fj.) = е Эту формулу можно записать так:

— ^ И х‘ + И Х1Л — ^ /1г

д(х |/г) = е

Если выборочное среднее обозначить буквой М:

М = -- V гг,

П ^
§ 39. Примеры 201

то д(х\р.) можно будет представить в виде произведения двух сомножителей

п (fi-AI — ^ ft1) —1-1^хг д(х |ц) =- е ¦ е

Первый множитель зависит лишь от М и ц, а второй — лишь от х. Следовательно, условие а) выполнено: М является достаточной оценкой для р..

Проверка справедливости условий 1, 2, 3 (§ 37) не представляет труда. Выполнение условий б) и в) (§ 38) является очевидным. Таким образом, выборочное среднее М является несмещенной наилучшей оценкой для р..

Пример 26. Оценка дисперсии в нормальном распределении с известным, средним значением.

Если среднее значение /т. известно, то смещением начала координат на оси Ох можно добиться, чтобы было р. = 0. Тогда плотность совместного

распределения хЛ, . . хп, с точностью до известного постоянного множи-

теля, будет равна



д(ж|о-) — о- е (1)

Требуется найти оценку для t> = о-2. Если обозначим V хг = rcs2, то (1) можно записать так:

П S*

—n m о — — —

д{х\о-) = с (2)

Эта функция имеет вид exp (As2 В). Следовательно, оценка Т = s2 удовлетворяет условиям а) и б). Математическое ожидание в2 равно о-2, поэтому условие в) также выполняется. Легко можно убедиться и в справедливости условий 1, 2, 3 (§ 37). Таким образом, в2 = У хг/п является несмещенной, наилучшей оценкой для о-2.

Пример 27. Метод наименьших квадратов.

Пусть результаты наблюдений аг^, . хп представляют собой независимые, нормально распределенные случайные величины с известными квадратичными отклонениями сг. . ., <гп соответственно. В § 26 предполагалось, что средние значения ?„ наблюдений являются произволь-

ными дифференцируемыми функциями неизвестных параметров Ьг, д2, . . затем эти функции аппроксимировались линейными функциями. Сейчас мы предположим, что все ?/ являются линейными функциями единственного неизвестного параметра t>. Эту теорию можно обобщить на случай нескольких параметров, однако для нелинейных функций она будет справедлива лишь приближенно.

Посредством подстановок х,¦ = о-;х, общий случай можно свести к частному случаю, когда все г,- имеют единичную дисперсию, поэтому, не меняя обозначений, мы будем считать, что o-j = . .. = <rn = 1. В этих предположениях совместная плотность вероятности, с точностью до постоянного множителя, равна

- I Г (ЗЧ -{,)•

p(a:|fl) = е (3)

Если в (3) заменить ?; соответствующими линейными функциями от t>
Предыдущая << 1 .. 70 71 72 73 74 75 < 76 > 77 78 79 80 81 82 .. 178 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed