Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Отсюда следует, что А' всегда положительно. Далее, из (7)
находим
1 = 6 [L'(x | С)]* = (А’)%{Т - Ту = (АГ °*г, поэтому, согласно (9),
I = А', (10)
200
Гл. VIII. Оценки неизвестных параметров
т. е. информация I равна производной по й от коэффициента А в формуле (4).
Согласно (8), уравнение правдоподобия имеет вид
А'(Т — в) = 0, (11)
и так как А' всегда положительно, то это уравнение имеет единственное решение
Ъ = Т.
В силу (8), L'(x ] 0) положительна при й < Т и отрицательна при г) > Т, поэтому fl = Т — точка максимума функции L. а значит, и функции правдоподобия
д(х | 0) =
Таким образом,
если предположения а), б) и в) справедливы, то оценка, найденная методом наибольшего правдоподобия, является несмещенной и наилучшей.
Если же условие в) не выполняется, то можно положить
&Т = т(С).
В этом случае Т является несмещенной наилучшей оценкой для т(0).
§ 39. Примеры
В некоторых важных случаях все условия 1, 2, 3 (§ 37) и а), б), в) (§ 38) оказываются выполненными. Простейшим случаем является следующий.
Пример 25. Оценка среднего значения в нормальном распределении. Пусть результаты наблюдений а^, . . хп представляют собой независимые, одинаково нормально распределенные случайные величины с неизвестным средним значением /л. При этом не имеет никакого значения, известно квадратичное отклонение <г или нет. Мы предположим для простоты, что <г -- 1. Тогда функция правдоподобия будет иметь вид (см. § 35, пример 22)
-\Е (*-#*)¦
g( x'fj.) = е Эту формулу можно записать так:
— ^ И х‘ + И Х1Л — ^ /1г
д(х |/г) = е
Если выборочное среднее обозначить буквой М:
М = -- V гг,
П ^
§ 39. Примеры 201
то д(х\р.) можно будет представить в виде произведения двух сомножителей
п (fi-AI — ^ ft1) —1-1^хг д(х |ц) =- е ¦ е
Первый множитель зависит лишь от М и ц, а второй — лишь от х. Следовательно, условие а) выполнено: М является достаточной оценкой для р..
Проверка справедливости условий 1, 2, 3 (§ 37) не представляет труда. Выполнение условий б) и в) (§ 38) является очевидным. Таким образом, выборочное среднее М является несмещенной наилучшей оценкой для р..
Пример 26. Оценка дисперсии в нормальном распределении с известным, средним значением.
Если среднее значение /т. известно, то смещением начала координат на оси Ох можно добиться, чтобы было р. = 0. Тогда плотность совместного
распределения хЛ, . . хп, с точностью до известного постоянного множи-
теля, будет равна
-П
д(ж|о-) — о- е (1)
Требуется найти оценку для t> = о-2. Если обозначим V хг = rcs2, то (1) можно записать так:
П S*
—n m о — — —
д{х\о-) = с (2)
Эта функция имеет вид exp (As2 В). Следовательно, оценка Т = s2 удовлетворяет условиям а) и б). Математическое ожидание в2 равно о-2, поэтому условие в) также выполняется. Легко можно убедиться и в справедливости условий 1, 2, 3 (§ 37). Таким образом, в2 = У хг/п является несмещенной, наилучшей оценкой для о-2.
Пример 27. Метод наименьших квадратов.
Пусть результаты наблюдений аг^, . хп представляют собой независимые, нормально распределенные случайные величины с известными квадратичными отклонениями сг. . ., <гп соответственно. В § 26 предполагалось, что средние значения ?„ наблюдений являются произволь-
ными дифференцируемыми функциями неизвестных параметров Ьг, д2, . . затем эти функции аппроксимировались линейными функциями. Сейчас мы предположим, что все ?/ являются линейными функциями единственного неизвестного параметра t>. Эту теорию можно обобщить на случай нескольких параметров, однако для нелинейных функций она будет справедлива лишь приближенно.
Посредством подстановок х,¦ = о-;х, общий случай можно свести к частному случаю, когда все г,- имеют единичную дисперсию, поэтому, не меняя обозначений, мы будем считать, что o-j = . .. = <rn = 1. В этих предположениях совместная плотность вероятности, с точностью до постоянного множителя, равна
- I Г (ЗЧ -{,)•
p(a:|fl) = е (3)
Если в (3) заменить ?; соответствующими линейными функциями от t>