Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Неравенство Фреше и вытекающие из него следствия остаются справедливыми и в случае дискретных величин . . ., хп. Нужно лишь во всех формулах заменить интегралы суммами. При этом предполагается, что суммы, соответствующие формулам (6) и
(7), можно дифференцировать почленно. В случае конечных сумм это всегда допустимо.
§ 38. Достаточные оценки и наилучшие оценки
При каких условиях только что выведенные неравенства обращаются в равенства?
Неравенство Шварца (2) § 37, очевидно, обращается в равенство тогда и только тогда, когда форма (3) представляет собой
1 Интеграл (13) многомерный и обычное интегрирование по частям к нему не применимо. Равенство (14) может быть получено следующим образом: из L' = д'!д получаем L" = g"lg— (g'lg)2. Но St(g"lg)= J д" dx = 0, (если в (7) можно дважды дифференцировать под знаком интеграла), поэтому
-?-'*[?"(*|0)] = &1(д'1д)г = ?*i/(x|t>)]2 - цс),
откуда и следует (14). — Прим. ред.
1 Нижняя граница 1 //(С) не обязгпельно является точной нижней гранью для дисперсий несмещенных оценок. Можно, например, показать,
что если X].....хп независимы и нормальны со средним значением ai/з и
единичной дисперсией, то нижняя грань дисперсий несмещенных оценок для а равна (9а1)п) + (18а2/п2) + (6/гг3), в то время как 111(a) = 9aljn. — Прим. перев.
198
Гл. VIII. Оценки неизвестных параметров
полный квадрат, или, иначе говоря, тогда и только тогда, когда существуют Л и /л не равные нулю одновременно, такие, что сумма Ху J- /JLZ равна нулю с вероятностью единица. В применении к неравенству (12) это означает, что либо Т принимает постоянное значение, Т = Т с вероятностью единица,либо с вероятностью единица имеет место равенство
L'(x | fl) = К (Т - Т), (1)
где К не зависит от х.
В первом случае оценка Т принимает постоянное значение Т0, независимо от наблюдений, и поэтому этот случай мы можем не рассматривать. Если Т = Т0, то Ь(\}) = Т0 — й очень сильно зависит от Ь. Это случай крайнего «смещения» или, иными словами, случай предвзятого мнения, когда считают, что истинноезначение € нужно знать заранее, и вообще не заботятся ни о каких наблюдениях. При некоторых условиях такой подход может оказаться вполне резумным, а именно, тогда, когда предвзятое мнение хорошо обосновано и не опровергается наблюдениями сколько-нибудь убедительно. В этом случае и не возникает никакой проблемы отыскания «точнейшей оценки на основе наблюдений».
Остается случай (1). Интегрированием получаем
Цх | С) = In д(х | V) = А(б) Т + В(€) + С (х), следовательно,
д(х [ й) = еАТ+в Цх), (2)
где Л и В зависят лишь от 0, а Л зависит лишь от х.
Таким образом, неравенство (12) § 36 обращается в равенство тогда, когда выполняются два следующих условия:
а) Функция правдоподобия д(х | 0) является произведением двух сомножителей
д(х | 0) = е (Т | е) h(x), (3)
из которых первый зависит лишь от t и Т, а второй — лишь от х.
б) Первый множитель имеет вид
е(Т | С) = еАТ+в, (4)
причем А и В зависят лишь от г).
Если условие а) выполняется, то Т называется достаточной оценкой параметра 0 (или, по Р. А. Фишеру, достаточной статистикой).
Докажем теперь теорему:
Если выполняются условия 1, 2, 3 (§ 37), а также условия а) и
б), то среди всех оценок с одинаковым смещением fe(fl) наименьшей дисперсией обладает оценка Т.
§ 38. Достаточные оценки и наилучшие оценки
199
Доказательство,. Из (3) и (4) следует, что
L'(x | в) = А'Т + В'. (5)
В свою очередь из (9) § 37 получаем
А’& Т + В' = &(А’ Т + В') = ? L' = О, следовательно,
В' = —А'$ Т = —А'Т. (6)
Если (6) подставить в (5). то убедимся, что
L'(x [ С) = А' (Т — Т). (7)
Так как L' пропорционально Т — Т, то неравенство Фреше обратится в равенство
2 _
г _ ' m " ’
Для любой другой оценки справедлив лишь знак э=. Следовательно, среди всех оценок со смещением 6(f)) оценка Т имеет наименьшую дисперсию <г|.
С целью выяснения, в какой мере эти результаты относятся к оценкам наибольшего правдоподобия, мы, помимо а) и б), сделаем еще одно предположение, а именно:
в) Оценка Т является несмещенной.
Согласно предположению в),
Ь(0) = Т — е = О
или Т = д. В соответствии с этим, в силу (7), получаем
L'(x | е) = А' (Т — С). (8)
Уравнение (10) § 37 в данном случае имеет вид & [(T-f)L’] = 1.
Если теперь L' заменить выражением (7), то получим
в, [A'{T-ff] = 1
или
Л'<4 = ]. (9)
