Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Варден Б.Л. -> "Математическая статистика" -> 72

Математическая статистика - Варден Б.Л.

Варден Б.Л. Математическая статистика — М.: Ил, 1960. — 435 c.
Скачать (прямая ссылка): matematstatistika1960.pdf
Предыдущая << 1 .. 66 67 68 69 70 71 < 72 > 73 74 75 76 77 78 .. 178 >> Следующая


где интегрирование производится по Есему множеству значений случайной величины х.

Значение t)0 является неизвестным. Однако поскольку нас интересует лишь приближенное значение параметра, то t)0 можно спокойно заменить величиной Таким образом, знаменатель

— L"(x | tfj) в (5) мы заменяем величиной п ;'(t>i), где

Следовательно, вместо (5) получаем

_ Ь\х\Ъг)

1 »j(0i)

Функцию j(d) в знаменателе (8) можно представить так:

Продифференцируем дважды равенство (10), предполагая, что его левую часть можно дифференцировать под знаком интеграла. Мы получим

Если j(i) умножить на п, то получим пыражение, которое Р. А. Фишер назвал информацией, содержащейся в выборке:

В качестве второго приближения для С мы теперь имеем

(7)

(9)

Но /(< | С) — плотность вероятности, поэтому

(Ю)

и поэтому (9) можно записать так:

(П)

(12)

С?2 — {>1 -|- hy.

(13>
§ 36. Вычисление максимума

191

где

(14)

причем L'(x | €х) и 7(0Х) вычисляются по формулам (2) и (12) соответственно.

Выражение 1(€) можно образовать и тогда, когда хк имеют различные плотности вероятности /Л. В этом случае

где интегрирование производится по всему и-мерному пространству изменения t1.

Если имеются два независимых ряда наблюдений, хх, . . ., хт и У\> • ¦ ->Уп> то информация 1, содержащаяся в этих рядах, представляет собой сумму информаций отдельных рядов:

Функция 1(\>) всегда неотрицательна. Если д(х | О) не зависит от О (в этом случае значения х не содержат никакой информации

о V), то 1(€) = 0. Эти свойства функции/(О) могут служить оправданием употребления слова «информация»2.

Пример 24. На плоской фольге в неизвестной точке находится источник радиоактивного излучения, посылающий лучи равномерно по всем направлениям пространства. Если параллельно фольге поставить экран, то на этом экране можно наблюдать вспышки, вызываемые радиоактивным излучением. Каким образом по местам вспышек на экране можно определить положение источника излучения на фольге?

Выберем плоскость экрана в качестве координатной плоскости хОу и примем за единицу длины расстояние между фольгой и экраном. Параллельные плоскости экрана и фольги в этом случае имеют уравнения г -¦ 0 и г=1 соответственно. Пусть (?, 7], 1) — координаты источника излучен ия.

С целью упрощения задачи предположим, что нас интересует лишь координата 6 источника и что в соответствии с этим измеряются лишь координаты Xj, . . ., хп точек экрана, в которых наблюдаются вспышки. Поэтому весь процесс можно спроектировать на плоскость xOz (рис. 22).

1 Формулу (15) можно легко проверить, принимая во внимание равенство (2) и выражения n-мерной плотности g(t\6). — Прим. ред.

2 О более общем понятии информации и о связи этого понятия с информацией в смысле Фишера см. Колмогоров А. П., Теория передачи информации, изд. АН СССР, М., 1956; Шэннон К., Статистическая теория передачи электрических сигналов (в сборнике «Теория передачи электрических сигналов при наличии помех»), ИЛ, М., 1953. — Прим. перев.

Общее выражение для 1(х>) имеет вид

т = 6t \L'(x | С)]2 = J [L'(t I f))P g(t I fl) dt, (15)

т = ш +Л(С).

(16)
192

Гл. VIII. Оценки неизвестных параметров

Функция распределения F(t) координаты вспышки задается вероятностью того, что луч упадет на экран левее точки с координатой t (рис. 23). Все лучи, удовлетворяющие этому условию, заключены внутри угла, величина которого равна

у = — + arc tg (I — С),

(17)

а все лучи, которые вообще могут попасть на экран, заключены внутри

Рис. 23.

угла, по величине равного я. Следовательно, в силу равномерности распределения лучен, искомая вероятность равна

F(t) =?- = .!- + ! arc tg (f — $).

Tt 2 П

(18)

Таким образом, распределение координат вспышек является распределением Коши. Соответствующая плотность вероятности равна

Л‘|*) = --П-----*\ТТ[Г Г ' (19)

я (t — + I

Функция правдоподобия имеет вид

(20)

(21)

д(х\0) -= я" f(x110) . . . f(xn\0) = II --------

Ее логарифм равен
Предыдущая << 1 .. 66 67 68 69 70 71 < 72 > 73 74 75 76 77 78 .. 178 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed