Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
a cos а = и, j
a sin а = — v, \ (23)
т0 --= w-\- v )
и, наконец, е — из уравнения
е
В данном случае
2^4-sin Л/= 142,87, 2licosXi= —316,61, = ~ 631>
поэтому, согласно (22), (23) и (24),
е — 0,04157, а = 65°40', т0 — i_e = 178 дн. 5ч. 39м.
Гиппарх и Птолемей — создатели теории эксцентриков — полагали
1
е = — -¦= 0,04167, а =-= 65°30'.
24
Согласие следует признать отличным. Таким образом, нужно считать, что византийские таблицы вычислены на основе модели движения солнца, предложенной Гиппархом.
Если бы мы вычислили по формуле (5) выборочную среднюю ошибку в моментов вступления солнца в каждую отдельную часть зодиака при п = 12 и г 3, то нашли бы, что s приближенно равна 20 мин. Однако эта оценка очень неточна; так, знаменатель п — г = 9 не очень велик. Кроме того, ненадежность этой оценки обусловлена отсутствием уверенности в том, что в византийских таблицах ошибки отдельных значений являются независимыми. Если воспользоваться указанными выше точными значениями е и а и вычислить ошибки отдельных значений византийских таблиц, то окажется, что из двенадцати чисел шесть в точности соответствуют модели Гиппарха, а остальные шесть подвержены грубым сшибкам от 30 до ?0 мин. При этом имеется два случая, когда моменты вступления солнца в две соседние части зодиака указаны с одинаковыми ошибками, соответственно равными 50 и 30 мин. По-видимому, в византийских таблицах отдельные значения не вычислялись независимо друг от друга.
Только что проведенные вычисления в конечном счете сводятся к гармоническому анализу периодической функции 10.), заданной в 12 точках. Гармонический анализ является очень полезным вспомогательным сред-
Т
(24)
§ 33. Линии регрессии
175
ством исследования таких астрономических таблиц, закон составления которых неизвестен. Во многих случаях этот метод вносит полную ясность в рассматривавшийся вопрос1.
§ 33. Линии регрессии
Пусть у — случайная величина, распределение которой зависит от некоторой независимой переменной х. В экономической статистике х в большинстве случаев является временем, а у — величиной, имеющей статистическое истолкование. Примером такой величины может служить количество выплавленной стали, которое, хотя с течением времени и меняется определенным образом, но, с другой стороны, помимо времени, зависит и от многих других факторов. Обе величины х и у могут оказаться случайными с некоторой определенной зависимостью, как, например, количество браков в текущем году и число новорожденных в следующем году.
Пусть в результате некоторого опыта наблюдались п пар значений (а^, &),. . ., (хп, уп) величин х и у. Постараемся исследовать характер функциональной зависимости у от а: и с этой целью предположим, например, что у иг связаны соотношением линейной регрессии
у = И0 + tJjZ + и, (1)
причем линия регрессии, уравнение которой имеет вид у = ?0 + + Игх, должна проходить достаточно близко от наблюденных точек с координатами (х„ уг), так что «случайные отклонения» и в некотором смысле являются наименьшими. Можно сделать также и другие предположения: например, можно считать, что у является многочленом второй степени (квадратичная регрессия), а соответствующая линия регрессии — параболой. Более общим является тот случай, когда у представляет собой многочлен более высокой степени («регрессия r-го порядка»)
у = t>0 4- «1* + • • • + егхг + и, (2)
или, при периодических колебаниях, тригонометрический многочлен
у = t)0 4- cos ах 4- sin ах 4 и.
Остатком и измеряется отклонение истинного графика функции у(х) от соответствующей линии регрессии. Требование, согласно которому этот остаток должен быть по возможности малым, можно уточнить, воспользовавшись методом наименьших
1 Van der Waerden В. L,, Die Bewegung der Sonne nach grei-ehisclien und indischen Tafeln, Sitzungsber. Bayer. Akad. (math.-nat.) (1952), 219; Krishna Rav I. V. М., The Motion of the Moon in Tamil Astronomy, Centaurus, 4 (195G).
17G
Гл. VII. Метод наименьших квадратов
квадратов. Согласно этому методу, в качестве значений параметров tfi, . . . нужно выбрать такие числа, для которых величина квадратичной формы
Q = 2 (3)
будет наименьшей. Вычисления выполняются точно так же, как в § 26. Например, в случае линейной регрессии из условия
2uf = 2 (Vi — до — ЙА)2 = minimum
посредством дифференцирования получаем
— 2 Vi + до п + 2 xi = °>
— 2 Vi xi 4' $о 2 xi + $1 2 а? = 0
или, в обозначениях Гаусса (см. § 30):
