Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
распределено приближенно нормально с единичным средним значением и квадратичным отклонением ]2/(п — г). Поэтому при
170
Гл. VII. Метод наименьших квадратов
больших п•—г величина s2 является хорошей оценкой для о-'2; при малых 11 — г эта оценка очень неточна. Доверительные границы для s2/cr- можно получить с помощью таблиц для хг (табл. 6).
При практическом вычислении Q следует пользоваться формулами (19) и (20) из § 30. Из Q, согласно (5), можно получить ¦s2, а из s2 по формулам (11) и (12) из § 31 можно получить прибли-
женные значения для сг2, а-2 и т. д.:
s2 = hus2,
в* =
(11)
Из (10) следует, что отношение
(га — г) в а (п — г) я2 Q
= '~Г=Х‘
<Тц » сг
подчиняется распределению х2 с п — г степенями свободы. Так как X2 не зависит от ух = у2 = г]2,. . ., yr = г]г, то х2 не зависит и от и, v, . . .. Отсюда, как и в § 28, заключаем, что отношение
^_____________и — &и______и — 6> и <г„ _и — Ьи — г
Sjj 8ц СГ ц Зц СГ ц х
подчиняется i-распределению (распределению Стьюдента) с п — г степенями свободы. Таким образом,
С целью построения доверительного интервала для какого-либо одного из неизвестных параметров 62,. . . следует воспользоваться соответствующей оценкой по методу наименьших квадратов flj, б2,, , , и для отыскания границ отношения (12) применить таблицы распределения Стьюдента с п — г степенями свободы (см. табл. 7).
Пример 19. В византийских солнечных таблицах1 указаны моменты вступления солнца в каждую из 12 частей пояса зодиака2:
Весы: 23 сентября 12ч. 00 м. дня Овен: 20 марта 5ч. 20м. ночи
Скорпион: 23 октября Зч. 30 м. дня Телец: 21 апреля 11ч. 00м. ночи
Стрелец: 21 ноября 10ч. 30 м. дня Близнецы: 22 мая 1ч. 40м. ночи
Козерог: 20 декабря Зч. 20 м. ночи Рак: 23 июня 6 ч. 31м. !дня
Водолей: 19 января 2ч. 20 м. дня Лев: 24 июля 3 ч. 00м. ночи
Рыбы: 18 февраля 2ч. 20 м. дня Дева: 24 августа 0ч. 30 м. ночи
1 Van der Waerden В. L., Eine byzantinisehe Sonnentafel, Sitzungsber. Bayer. Akad. Miinchen (math.-nat.), (1964), 169.
2 Пояс зодиака — ряд созвездий, расположенных вдоль эклиптики — большого круга небесной сферы, по которому совершается видимое годичное движение солнца. Пояс зодиака подразделяется на 12 равных частей, получивших названия соответствующих созвездий. — Прим. перев.
§ 32. Оценка дисперсии сг2
171
Дневное время отсчитывается с 6 час. утра, а ночное — с 6 час. вечера. Пели за начало отсчета времени принять момент вступления солнца в ту чисть пояса зодиака, которая называется «Весы», то моменты вступления солнца в остальные II частей зодиака будут задаваться числами Ц — t_в, указанными в третьем столбце таблицы, следующей ниже. В четвертом столбце указано среднее время вступления солнца в каждую из частей зодиака; это среднее время вычислено в предположении, что видимое вращение солнца вокруг земли совершается с постоянной угловой скоростью.
Среднее время
---6 --- 180 0 0 0
---5 --- 150 29 д. 15 ч. 30 м. 30 д. 10 ч. 30 м. --- 19 ч. 00 м.
---4 --- 120 58 д. 22 ч. 30 м. 60 д. 21 ч. 00 м. --- 46 ч. 30 м.
---3 --- 90 88 д. 3 ч. 20 м. 91 д. 7 ч. 30 м. --- 76 ч. 10 м.
---2 --- 60 117 д. 14 ч. 20 м. 121 д. 18 ч. 00 м. --- 99 ч. 40 м.
--- 1 --- 30 147 д. 14 ч. 20 м. 152 д. 4 ч. 30 м. --- 110 ч. 10 м.
0 0 178 д. 5 ч. 20 м. 182 д. 15 ч. 00 м. 105 ч. 40 м.
1 30 209 д. 11 ч. 00 м. 213 д. 1 ч. 30 м. 86 ч. 30 м.
2 60 241 д. 1 ч. 40 м. 243 д. 12 ч. 00 м. 58 ч. 20 м.
3 90 272 д. 18 ч. 30 м. 273 д. 22 ч. 30 м. - 28 ч 00 м.
4 120 304 д. 3 ч. 00 м. 304 д. 9 ч. 00 м. 6 ч. 00. м.
5 150 335 д. 0 ч. 30 м. 334 д. 19 ч. 30 м. + 5 ч. 00 м.
Если из моментов, указанных в третьем столбце, вычесть соответствующее среднее время, то получим поправки величины которых даны в пятом столбце. При этом предполагается, что год состоит из 365 дней и 6 час. Такое предположение вполне допустимо, так как моменты, указанные в византийских таблицах, за очевидным исключением, округлены до чисел, кратных 10 мин. В первом столбце указаны номера границ между частями зодиака, а во втором столбце — угловые координаты Л,- этих границ. За начало отсчета углов выбрана граница между частями «Рыбы» и «Овен», причем направление отсчета совпадает с направлением движения солнца.
Определенная симметрия этих чисел (хотя и приближенная), а также другие родственные тексты наводят на мысль, что византийские таблицы, по-видимому, вычислены на основе теории эксцентриков. Согласно этой теории, солнце S движется с постоянной скоростью по некоторой окружности (по эксцентрику), эксцентрично расположенной относительно неподвижной земли Е (рис. 20). Предполагая, что византийские таблицы вычислены по этой теории и что результаты, указанные в таблицах, содержат случайные ошибки, мы постараемся возможно более точно определить "эксцентриситет е соответствующего эксцентрика и угловую координату а (на эклиптике) для апогея1.
